ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / вопрос - 16

**Основные свойства числовых неравенств:** **1. Обратимость неравенства** Если первое число больше второго, то второе число меньше первого: если $a > b$, то $b < a$ (аналогично: если $a < b$, то $b > a$). *Пример:* Так как $7 > 3$, то $3 < 7$. **2. Транзитивность неравенств** Если первое число больше второго, а второе больше третьего, то первое число больше третьего: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$. *Пример:* Так как $10 > 6$ и $6 > 2$, то $10 > 2$. **3. Сложение и вычитание одного и того же числа** Если к обеим частям верного неравенства прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится: если $a > b$, то $a + c > b + c$ и $a - c > b - c$ для любого числа $c$. *Примеры:* * К обеим частям неравенства $5 > 2$ прибавим число $4$: $$ 5 + 4 > 2 + 4 \implies 9 > 6 $$ (неравенство остаётся верным). * Из обеих частей неравенства $8 > 3$ вычтем число $5$: $$ 8 - 5 > 3 - 5 \implies 3 > -2 $$ (неравенство остаётся верным). **4. Умножение и деление на положительное число** Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится: если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$. *Примеры:* * Обе части неравенства $4 > 1$ умножим на $3$ ($3 > 0$): $$ 4 \cdot 3 > 1 \cdot 3 \implies 12 > 3 $$ * Обе части неравенства $16 > 8$ разделим на $4$ ($4 > 0$): $$ \frac{16}{4} > \frac{8}{4} \implies 4 > 2 $$ **5. Умножение и деление на отрицательное число** Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$. *Примеры:* * Обе части неравенства $6 > 2$ умножим на $-2$ (знак $>$ меняется на $<$): $$ 6 \cdot (-2) < 2 \cdot (-2) \implies -12 < -4 $$ * Обе части неравенства $9 > 3$ разделим на $-3$ (знак $>$ меняется на $<$): $$ \frac{9}{-3} < \frac{3}{-3} \implies -3 < -1 $$ **6. Неравенство для взаимно обратных чисел** Если $a$ и $b$ — положительные числа и $a > b$, то для обратных им чисел знак неравенства меняется на противоположный: $$ \frac{1}{a} < \frac{1}{b} $$ *Пример:* Так как $5 > 2$, то: $$ \frac{1}{5} < \frac{1}{2} \quad (0{,}2 < 0{,}5) $$ **7. Почленное сложение и умножение неравенств** * **Сложение:** если сложить почленно верные неравенства одного знака, получится верное неравенство того же знака: если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$. *Пример:* Сложим неравенства $7 > 3$ и $5 > 2$: $$ 7 + 5 > 3 + 2 \implies 12 > 5 $$ * **Умножение:** если перемножить почленно верные неравенства одного знака с положительными членами, получится верное неравенство того же знака: если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$. *Пример:* Перемножим неравенства $6 > 4$ и $3 > 2$: $$ 6 \cdot 3 > 4 \cdot 2 \implies 18 > 8 $$