ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 92

1) $\sqrt[6]{2x - 3}$ Корень чётной степени (шестой) имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно: $$ 2x - 3 \ge 0 $$ $$ 2x \ge 3 $$ $$ x \ge 1{,}5 $$ **Ответ:** $x \ge 1{,}5$ (или $x \in [1{,}5; +\infty)$). --- 2) $\sqrt[3]{x + 3}$ Показатель корня равен $3$ — это нечётное число. Корень нечётной степени определён для любого действительного числа, поэтому подкоренное выражение $x + 3$ может принимать любые значения. Следовательно, выражение имеет смысл при всех действительных значениях $x$. *(Примечание: если в условии опечатка и корень шестой степени, то есть $\sqrt[6]{x + 3}$, то $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.)* **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число). --- 3) $\sqrt[3]{2x^2 - x - 1}$ Показатель корня равен $3$ — нечётное число. Корень нечётной степени имеет смысл при любых действительных значениях подкоренного выражения, а многочлен $2x^2 - x - 1$ определён при любом $x$. Следовательно, выражение имеет смысл при всех $x \in \mathbb{R}$. *(Примечание: если в условии опечатка и корень шестой степени, то есть $\sqrt[6]{2x^2 - x - 1}$, то $2x^2 - x - 1 \ge 0$. Корни квадратного трёхчлена: $x_1 = 1$, $x_2 = -0{,}5$. Ветви параболы направлены вверх, тогда решением было бы $x \in (-\infty; -0{,}5] \cup [1; +\infty)$.)* **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число). --- 4) $\sqrt[4]{\frac{2 - 3x}{2x - 4}}$ Корень чётной степени (четвёртой) имеет смысл, если дробь под корнем неотрицательна, при этом знаменатель дроби не должен равняться нулю: $$ \begin{cases} \dfrac{2 - 3x}{2x - 4} \ge 0, \\ 2x - 4 \ne 0 \end{cases} $$ Решим неравенство методом интервалов: 1. Найдём нуль числителя: $2 - 3x = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \dfrac{2}{3}$. 2. Найдём нуль знаменателя: $2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Отметим полученные точки на числовой прямой: точка $x = \dfrac{2}{3}$ входит в область допустимых значений (закрашенная), а точка $x = 2$ исключается (выколотая), так как деление на ноль невозможно. Определим знаки дроби $\dfrac{2 - 3x}{2x - 4}$ на образовавшихся интервалах: - при $x < \dfrac{2}{3}$ (например, $x = 0$): $\dfrac{2 - 3 \cdot 0}{2 \cdot 0 - 4} = \dfrac{2}{-4} = -\dfrac{1}{2} < 0$ (знак «минус»); - при $\dfrac{2}{3} < x < 2$ (например, $x = 1$): $\dfrac{2 - 3 \cdot 1}{2 \cdot 1 - 4} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2} > 0$ (знак «плюс»); - при $x > 2$ (например, $x = 3$): $\dfrac{2 - 3 \cdot 3}{2 \cdot 3 - 4} = \dfrac{-7}{2} < 0$ (знак «минус»). Неравенству удовлетворяет интервал, где дробь положительна или равна нулю: $$ \frac{2}{3} \le x < 2 $$ **Ответ:** $x \in \left[\dfrac{2}{3}; 2\right)$.