ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 807

**1)** Сократим дробь: $$ \frac{a^3 - 2a^2 + 5a + 26}{a^3 - 5a^2 + 17a - 13} $$ Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. 1. Разложим числитель $a^3 - 2a^2 + 5a + 26$: Среди делителей свободного члена ($\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$) найдем корень многочлена. При $a = -2$: $$ (-2)^3 - 2 \cdot (-2)^2 + 5 \cdot (-2) + 26 = -8 - 8 - 10 + 26 = 0 $$ Значит, многочлен делится на $(a + 2)$. Разделим числитель на $(a + 2)$ «уголком» или с помощью группировки: $$ a^3 - 2a^2 + 5a + 26 = a^3 + 2a^2 - 4a^2 - 8a + 13a + 26 = a^2(a + 2) - 4a(a + 2) + 13(a + 2) = (a + 2)(a^2 - 4a + 13) $$ 2. Разложим знаменатель $a^3 - 5a^2 + 17a - 13$: Среди делителей свободного члена ($\pm 1, \pm 13$) при $a = 1$: $$ 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 17 \cdot 1 - 13 = 1 - 5 + 17 - 13 = 0 $$ Значит, многочлен делится на $(a - 1)$. Выделим множитель $(a - 1)$ с помощью группировки: $$ a^3 - 5a^2 + 17a - 13 = a^3 - a^2 - 4a^2 + 4a + 13a - 13 = a^2(a - 1) - 4a(a - 1) + 13(a - 1) = (a - 1)(a^2 - 4a + 13) $$ 3. Подставим разложения в дробь и выполним сокращение на общий множитель $(a^2 - 4a + 13)$: $$ \frac{(a + 2)(a^2 - 4a + 13)}{(a - 1)(a^2 - 4a + 13)} = \frac{a + 2}{a - 1} $$ **2)** Сократим дробь: $$ \frac{2a^4 + a^3 + 4a^2 + a + 2}{2a^3 - a^2 + a - 2} $$ Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. 1. Разложим числитель $2a^4 + a^3 + 4a^2 + a + 2$: Представим слагаемое $4a^2$ в виде $2a^2 + 2a^2$ и сгруппируем слагаемые: $$ 2a^4 + a^3 + 4a^2 + a + 2 = (2a^4 + a^3 + 2a^2) + (2a^2 + a + 2) = a^2(2a^2 + a + 2) + 1 \cdot (2a^2 + a + 2) = (a^2 + 1)(2a^2 + a + 2) $$ 2. Разложим знаменатель $2a^3 - a^2 + a - 2$: Сгруппируем слагаемые: $$ 2a^3 - a^2 + a - 2 = (2a^3 - 2) - (a^2 - a) = 2(a^3 - 1) - a(a - 1) $$ Применим формулу разности кубов $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$: $$ 2(a - 1)(a^2 + a + 1) - a(a - 1) = (a - 1)\bigl(2(a^2 + a + 1) - a\bigr) = (a - 1)(2a^2 + 2a + 2 - a) = (a - 1)(2a^2 + a + 2) $$ 3. Подставим разложения в дробь и сократим на общий множитель $(2a^2 + a + 2)$: $$ \frac{(a^2 + 1)(2a^2 + a + 2)}{(a - 1)(2a^2 + a + 2)} = \frac{a^2 + 1}{a - 1} $$ Ответ: 1) $\frac{a + 2}{a - 1}$; 2) $\frac{a^2 + 1}{a - 1}$.