ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 808

1) Построить график функции $y = |x - 2| + |x + 4|$. Найдём нули подмодульных выражений: $x - 2 = 0 \implies x = 2$; $x + 4 = 0 \implies x = -4$. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка: 1. При $x < -4$: $$ y = -(x - 2) - (x + 4) = -x + 2 - x - 4 = -2x - 2 $$ 2. При $-4 \le x \le 2$: $$ y = -(x - 2) + (x + 4) = -x + 2 + x + 4 = 6 $$ 3. При $x > 2$: $$ y = (x - 2) + (x + 4) = 2x + 2 $$ Функцию можно записать кусочно: $$ y = \begin{cases} -2x - 2, & \text{при } x < -4, \\ 6, & \text{при } -4 \le x \le 2, \\ 2x + 2, & \text{при } x > 2. \end{cases} $$ **Построение:** * При $x \le -4$ строим луч прямой $y = -2x - 2$, проходящий через точки $(-5; 8)$ и $(-4; 6)$. * При $-4 \le x \le 2$ строим горизонтальный отрезок от точки $(-4; 6)$ до точки $(2; 6)$. * При $x \ge 2$ строим луч прямой $y = 2x + 2$, выходящий из точки $(2; 6)$ и проходящий через точку $(3; 8)$. --- 2) Построить график функции $y = |x - 3| - |x - 1|$. Нули подмодульных выражений: $x = 1$ и $x = 3$. 1. При $x < 1$: $$ y = -(x - 3) - (-(x - 1)) = -x + 3 + x - 1 = 2 $$ 2. При $1 \le x \le 3$: $$ y = -(x - 3) - (x - 1) = -x + 3 - x + 1 = -2x + 4 $$ 3. При $x > 3$: $$ y = (x - 3) - (x - 1) = x - 3 - x + 1 = -2 $$ Кусочная запись: $$ y = \begin{cases} 2, & \text{при } x < 1, \\ -2x + 4, & \text{при } 1 \le x \le 3, \\ -2, & \text{при } x > 3. \end{cases} $$ **Построение:** * При $x \le 1$ строим горизонтальный луч $y = 2$, идущий влево до точки $(1; 2)$. * При $1 \le x \le 3$ соединяем отрезком прямой $y = -2x + 4$ точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$ (пересекает ось $Ox$ в точке $(2; 0)$). * При $x \ge 3$ строим горизонтальный луч $y = -2$, идущий вправо из точки $(3; -2)$. --- 3) Построить график функции $y = \sqrt{x^2 + 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$. Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты, и применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $$ y = \sqrt{(x + 2)^2} + \sqrt{(x - 3)^2} = |x + 2| + |x - 3| $$ Нули подмодульных выражений: $x = -2$ и $x = 3$. 1. При $x < -2$: $$ y = -(x + 2) - (x - 3) = -x - 2 - x + 3 = -2x + 1 $$ 2. При $-2 \le x \le 3$: $$ y = (x + 2) - (x - 3) = x + 2 - x + 3 = 5 $$ 3. При $x > 3$: $$ y = (x + 2) + (x - 3) = 2x - 1 $$ Кусочная запись: $$ y = \begin{cases} -2x + 1, & \text{при } x < -2, \\ 5, & \text{при } -2 \le x \le 3, \\ 2x - 1, & \text{при } x > 3. \end{cases} $$ **Построение:** * При $x \le -2$ строим луч прямой $y = -2x + 1$, проходящий через точки $(-3; 7)$ и $(-2; 5)$. * При $-2 \le x \le 3$ строим горизонтальный отрезок $y = 5$ между точками $(-2; 5)$ и $(3; 5)$. * При $x \ge 3$ строим луч прямой $y = 2x - 1$, выходящий из точки $(3; 5)$ и проходящий через точку $(4; 7)$. --- 4) Построить график функции $y = \sqrt{x^2 + 10x + 25} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}$. Преобразуем выражение: $$ y = \sqrt{(x + 5)^2} - \sqrt{(x - 1)^2} = |x + 5| - |x - 1| $$ Нули подмодульных выражений: $x = -5$ и $x = 1$. 1. При $x < -5$: $$ y = -(x + 5) - (-(x - 1)) = -x - 5 + x - 1 = -6 $$ 2. При $-5 \le x \le 1$: $$ y = (x + 5) - (-(x - 1)) = x + 5 + x - 1 = 2x + 4 $$ 3. При $x > 1$: $$ y = (x + 5) - (x - 1) = x + 5 - x + 1 = 6 $$ Кусочная запись: $$ y = \begin{cases} -6, & \text{при } x < -5, \\ 2x + 4, & \text{при } -5 \le x \le 1, \\ 6, & \text{при } x > 1. \end{cases} $$ **Построение:** * При $x \le -5$ строим горизонтальный луч $y = -6$, идущий влево до точки $(-5; -6)$. * При $-5 \le x \le 1$ строим отрезок прямой $y = 2x + 4$, соединяющий точки $(-5; -6)$ и $(1; 6)$ (пересекает оси в точках $(-2; 0)$ и $(0; 4)$). * При $x \ge 1$ строим горизонтальный луч $y = 6$, идущий вправо из точки $(1; 6)$. --- 5) Построить график функции $y = \frac{3x - 2}{|x - 1|}$. Область определения: $|x - 1| \ne 0 \implies x \ne 1$. Раскроем знак модуля: 1. При $x > 1$: $$ y = \frac{3x - 2}{x - 1} = \frac{3(x - 1) + 1}{x - 1} = 3 + \frac{1}{x - 1} $$ График — правая ветвь гиперболы со смещёнными асимптотами $x = 1$ и $y = 3$. Точки для построения: $(1{,}5; 5)$, $(2; 4)$, $(3; 3{,}5)$. При $x \to 1^+$ значения $y \to +\infty$; при $x \to +\infty$ значения $y \to 3$. 2. При $x < 1$: $$ y = \frac{3x - 2}{-(x - 1)} = -\left(3 + \frac{1}{x - 1}\right) = -3 - \frac{1}{x - 1} = -3 + \frac{1}{1 - x} $$ График — ветвь гиперболы с вертикальной асимптотой $x = 1$ и горизонтальной асимптотой $y = -3$. Точки для построения: пересечение с $Ox$: $3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$, точка $\left(\frac{2}{3}; 0\right)$; пересечение с $Oy$: $x = 0 \implies y = -2$, точка $(0; -2)$; дополнительные точки: $(-1; -2{,}5)$, $(0{,}5; -1)$. При $x \to 1^-$ значения $y \to +\infty$; при $x \to -\infty$ значения $y \to -3$. --- 6) Построить график функции $y = \frac{2|x| - 1}{|x| - 4}$. Область определения: $|x| - 4 \ne 0 \implies x \ne \pm 4$. Так как $f(-x) = \frac{2|-x| - 1}{|-x| - 4} = \frac{2|x| - 1}{|x| - 4} = f(x)$, функция является чётной. Её график симметричен относительно оси $Oy$. Рассмотрим функцию при $x \ge 0$ ($x \ne 4$): $$ y = \frac{2x - 1}{x - 4} = \frac{2(x - 4) + 7}{x - 4} = 2 + \frac{7}{x - 4} $$ * При $x \in [0; 4)$: $x = 0 \implies y = \frac{1}{4} = 0{,}25$; $y = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies x = 0{,}5$; $x = 3 \implies y = 2 - 7 = -5$. При $x \to 4^-$ график уходит вниз: $y \to -\infty$. * При $x \in (4; +\infty)$: $x = 5 \implies y = 2 + 7 = 9$; $x = 11 \implies y = 2 + 1 = 3$. При $x \to 4^+$ график уходит вверх: $y \to +\infty$; при $x \to +\infty$ приближается к горизонтальной асимптоте $y = 2$. **Построение:** 1. Строим полученные ветви гиперболы в правой полуплоскости ($x \ge 0$, $x \ne 4$). Вертикальная асимптота: $x = 4$, горизонтальная асимптота: $y = 2$. 2. Отображаем построенную часть симметрично относительно оси ординат для $x \le 0$ ($x \ne -4$), получая вертикальную асимптоту $x = -4$ и соответствующие симметричные точки: $(-0{,}5; 0)$, $(-3; -5)$, $(-5; 9)$ и др. --- 7) Построить график функции $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$. Область определения: $$ x^2 - x - 2 \ne 0 \iff (x - 2)(x + 1) \ne 0 \implies x \ne -1, \quad x \ne 2 $$ Прямые $x = -1$ и $x = 2$ являются вертикальными асимптотами. Так как степень числителя меньше степени знаменателя, ось $Ox$ ($y = 0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to \pm\infty$. Исследуем знаменатель $g(x) = x^2 - x - 2$: * Вершина параболы: $x_0 = -\frac{-1}{2} = 0{,}5$; значение в вершине: $g(0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}5 - 2 = -2{,}25 = -\frac{9}{4}$. Следовательно, на интервале $(-1; 2)$ функция $y$ принимает локальный максимум в точке $x = 0{,}5$: $$ y(0{,}5) = \frac{1}{-2{,}25} = -\frac{4}{9} \approx -0{,}44 $$ Поведение по интервалам: 1. При $x \in (-\infty; -1)$: знаменатель $g(x) > 0$, значит, $y > 0$. При $x \to -\infty$ график приближается к оси $Ox$ ($y \to 0^+$), а при $x \to -1^-$ уходит вверх ($y \to +\infty$). Точки: $(-3; 0{,}1)$, $(-2; 0{,}25)$. 2. При $x \in (-1; 2)$: знаменатель $g(x) < 0$, значит, $y < 0$. При $x \to -1^+$ и $x \to 2^-$ график уходит вниз ($y \to -\infty$). Точки: $(0; -0{,}5)$, $(0{,}5; -4/9)$, $(1; -0{,}5)$. 3. При $x \in (2; +\infty)$: знаменатель $g(x) > 0$, значит, $y > 0$. При $x \to 2^+$ график уходит вверх ($y \to +\infty$), а при $x \to +\infty$ приближается к оси $Ox$ ($y \to 0^+$). Точки: $(3; 0{,}25)$, $(4; 0{,}1)$. --- 8) Построить график функции $y = \frac{1}{x^2 - |x|}$. Область определения: $$ x^2 - |x| \ne 0 \iff |x|^2 - |x| \ne 0 \iff |x|(|x| - 1) \ne 0 \implies x \ne 0, \quad x \ne \pm 1 $$ Функция является чётной, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - |-x|} = \frac{1}{x^2 - |x|} = f(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$. Рассмотрим функцию при $x > 0$ ($x \ne 1$): $$ y = \frac{1}{x^2 - x} = \frac{1}{x(x - 1)} $$ Знаменатель $h(x) = x^2 - x$ обращается в нуль при $x = 0$ и $x = 1$. Вершина параболы знаменателя находится в точке $x_0 = 0{,}5$, где $h(0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}25$. 1. На интервале $(0; 1)$: знаменатель отрицателен, поэтому $y < 0$. В точке $x = 0{,}5$ функция достигает локального максимума: $$ y(0{,}5) = \frac{1}{-0{,}25} = -4 $$ При $x \to 0^+$ и при $x \to 1^-$ график неограниченно опускается вниз ($y \to -\infty$). 2. На интервале $(1; +\infty)$: знаменатель положителен, поэтому $y > 0$. При $x \to 1^+$ график уходит вверх ($y \to +\infty$). При $x \to +\infty$ график приближается к горизонтальной асимптоте $y = 0$. Точки: $(2; 0{,}5)$, $(3; 1/6)$. **Построение:** 1. Для $x > 0$ строим две ветви: ветвь с вершиной $(0{,}5; -4)$ между вертикальными асимптотами $x = 0$ (ось $Oy$) и $x = 1$, и гиперболическую ветвь справа от прямой $x = 1$ через точку $(2; 0{,}5)$. 2. Симметрично отображаем построенный график относительно оси $Oy$ в область $x < 0$, получая вертикальную асимптоту $x = -1$, точку максимума $(-0{,}5; -4)$ и точку $(-2; 0{,}5)$.