ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 810

### 1) $\sqrt{1 - x^2} + 1 < \sqrt{3 - x^2}$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 3 - x^2 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2 \le 1 \\ x^2 \le 3 \end{cases} \iff -1 \le x \le 1 $$ ОДЗ: $x \in [-1; 1]$. 2. Обе части неравенства положительны при всех $x \in [-1; 1]$, поэтому возведем обе части в квадрат: $$ (\sqrt{1 - x^2} + 1)^2 < (\sqrt{3 - x^2})^2 $$ $$ 1 - x^2 + 2\sqrt{1 - x^2} + 1 < 3 - x^2 $$ $$ 2 - x^2 + 2\sqrt{1 - x^2} < 3 - x^2 $$ Приведем подобные члены: $$ 2\sqrt{1 - x^2} < 1 $$ $$ \sqrt{1 - x^2} < \frac{1}{2} $$ 3. Так как обе части неотрицательны, снова возведем в квадрат: $$ 1 - x^2 < \frac{1}{4} $$ $$ x^2 > \frac{3}{4} \iff |x| > \frac{\sqrt{3}}{2} \iff x \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty\right) $$ 4. Пересечем полученное решение с ОДЗ $x \in [-1; 1]$: $$ x \in \left[-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right] $$ Ответ: $\left[-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right]$. --- ### 2) $x + 4 > 2\sqrt{4 - x^2}$ 1. Найдем ОДЗ: $$ 4 - x^2 \ge 0 \iff x^2 \le 4 \iff -2 \le x \le 2 $$ ОДЗ: $x \in [-2; 2]$. 2. При всех $x \in [-2; 2]$ левая часть неравенства положительна: $x + 4 \ge -2 + 4 = 2 > 0$. Правая часть также неотрицательна. Возведем обе части неравенства в квадрат: $$ (x + 4)^2 > (2\sqrt{4 - x^2})^2 $$ $$ x^2 + 8x + 16 > 4(4 - x^2) $$ $$ x^2 + 8x + 16 > 16 - 4x^2 $$ $$ 5x^2 + 8x > 0 $$ $$ x(5x + 8) > 0 $$ Корни уравнения $x(5x + 8) = 0$: $x_1 = -1{,}6$, $x_2 = 0$. Решением строгого неравенства является: $$ x \in (-\infty; -1{,}6) \cup (0; +\infty) $$ 3. Пересечем полученный результат с ОДЗ $x \in [-2; 2]$: $$ x \in [-2; -1{,}6) \cup (0; 2] $$ Ответ: $[-2; -1{,}6) \cup (0; 2]$. --- ### 3) $\sqrt{x^2 - 6x} < 8 + 2x$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < g^2(x) \end{cases} $$ Составим систему: $$ \begin{cases} x^2 - 6x \ge 0 \\ 8 + 2x > 0 \\ x^2 - 6x < (8 + 2x)^2 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $$ x(x - 6) \ge 0 \iff x \in (-\infty; 0] \cup [6; +\infty) $$ 2. Решим второе неравенство: $$ 2x > -8 \iff x > -4 $$ 3. Решим третье неравенство: $$ x^2 - 6x < 64 + 32x + 4x^2 $$ $$ 3x^2 + 38x + 64 > 0 $$ Найдем корни трехчлена $3x^2 + 38x + 64 = 0$: $$ D_1 = 19^2 - 3 \cdot 64 = 361 - 192 = 169 = 13^2 $$ $$ x_1 = \frac{-19 - 13}{3} = -\frac{32}{3} = -10\frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{-19 + 13}{3} = -2 $$ Значит: $$ x \in \left(-\infty; -10\frac{2}{3}\right) \cup (-2; +\infty) $$ 4. Найдем пересечение всех трех условий: - Из $x > -4$ и $x \in \left(-\infty; -10\frac{2}{3}\right) \cup (-2; +\infty)$ получаем: $x > -2$. - Пересекаем $x > -2$ с условием $x \in (-\infty; 0] \cup [6; +\infty)$: $$ x \in (-2; 0] \cup [6; +\infty) $$ Ответ: $(-2; 0] \cup [6; +\infty)$. --- ### 4) $2 - 3x < \sqrt{4 + 9x - 9x^2}$ Перепишем в привычном виде: $\sqrt{4 + 9x - 9x^2} > 2 - 3x$. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} 2 - 3x < 0 \\ 4 + 9x - 9x^2 \ge 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} 2 - 3x \ge 0 \\ 4 + 9x - 9x^2 > (2 - 3x)^2 \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Найдем корни подкоренного выражения $9x^2 - 9x - 4 = 0$: $$ D = 81 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 81 + 144 = 225 = 15^2 $$ $$ x_1 = \frac{9 - 15}{18} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{9 + 15}{18} = \frac{4}{3} $$ Таким образом, условие $4 + 9x - 9x^2 \ge 0$ дает: $x \in \left[-\frac{1}{3}; \frac{4}{3}\right]$. **Первая система:** $$ \begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} \le x \le \frac{4}{3} \end{cases} \iff x \in \left(\frac{2}{3}; \frac{4}{3}\right] $$ **Вторая система:** $$ \begin{cases} x \le \frac{2}{3} \\ 4 + 9x - 9x^2 > 4 - 12x + 9x^2 \end{cases} $$ Упростим второе неравенство: $$ 18x^2 - 21x < 0 $$ $$ 3x(6x - 7) < 0 \iff 0 < x < \frac{7}{6} $$ Пересечем с $x \le \frac{2}{3}$: $$ x \in \left(0; \frac{2}{3}\right] $$ **Объединение решений систем:** $$ x \in \left(0; \frac{2}{3}\right] \cup \left(\frac{2}{3}; \frac{4}{3}\right] = \left(0; \frac{4}{3}\right] $$ Ответ: $\left(0; \frac{4}{3}\right]$. --- ### 5) $\frac{2x + 3}{\sqrt{6x^2 + 7x - 3}} < 2$ 1. Найдем ОДЗ (знаменатель строго больше нуля): $$ 6x^2 + 7x - 3 > 0 $$ $$ D = 49 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{-7 - 11}{12} = -1{,}5, \quad x_2 = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{1}{3} $$ ОДЗ: $x \in (-\infty; -1{,}5) \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$. 2. Так как в ОДЗ $\sqrt{6x^2 + 7x - 3} > 0$, домножим обе части на знаменатель: $$ 2x + 3 < 2\sqrt{6x^2 + 7x - 3} $$ Рассмотрим два случая: - **Случай 1:** $2x + 3 < 0 \iff x < -1{,}5$. Левая часть отрицательна, а правая строго положительна, следовательно, неравенство выполняется для всех $x < -1{,}5$. Все эти значения входят в ОДЗ. - **Случай 2:** $2x + 3 \ge 0 \iff x \ge -1{,}5$. С учетом ОДЗ рассматриваем $x > \frac{1}{3}$. В этом случае обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $$ (2x + 3)^2 < 4(6x^2 + 7x - 3) $$ $$ 4x^2 + 12x + 9 < 24x^2 + 28x - 12 $$ $$ 20x^2 + 16x - 21 > 0 $$ Найдем корни трехчлена $20x^2 + 16x - 21 = 0$: $$ D_1 = 8^2 - 20 \cdot (-21) = 64 + 420 = 484 = 22^2 $$ $$ x_1 = \frac{-8 - 22}{20} = -1{,}5, \quad x_2 = \frac{-8 + 22}{20} = 0{,}7 $$ Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1{,}5) \cup (0{,}7; +\infty)$. С учетом условия $x > \frac{1}{3}$ получаем: $x \in (0{,}7; +\infty)$. 3. Объединяем результаты обоих случаев: $$ x \in (-\infty; -1{,}5) \cup (0{,}7; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -1{,}5) \cup (0{,}7; +\infty)$. --- ### 6) $\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{x - 1} > -\frac{1}{3}$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ x - 1 \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ne 1 \end{cases} $$ ОДЗ: $x \in [-3; 1) \cup (1; +\infty)$. 2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x + 3}$, где $t \ge 0$. Тогда $t^2 = x + 3$, откуда $x = t^2 - 3$. Знаменатель примет вид: $x - 1 = t^2 - 3 - 1 = t^2 - 4$. Условие $x \ne 1$ означает, что $t^2 \ne 4$, то есть $t \ne 2$. Подставим $t$ в левую часть неравенства: $$ \frac{2 - t}{t^2 - 4} = \frac{2 - t}{(t - 2)(t + 2)} = \frac{-(t - 2)}{(t - 2)(t + 2)} = -\frac{1}{t + 2} \quad (\text{при } t \ne 2) $$ 3. Неравенство принимает вид: $$ -\frac{1}{t + 2} > -\frac{1}{3} $$ Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $$ \frac{1}{t + 2} < \frac{1}{3} $$ Так как $t \ge 0$, знаменатель $t + 2 > 0$, поэтому: $$ t + 2 > 3 \iff t > 1 $$ С учетом условия $t \ne 2$ получаем: $$ t \in (1; 2) \cup (2; +\infty) $$ 4. Вернемся к переменной $x$: - При $1 < t < 2$: $$ 1 < \sqrt{x + 3} < 2 $$ $$ 1 < x + 3 < 4 $$ $$ -2 < x < 1 $$ - При $t > 2$: $$ \sqrt{x + 3} > 2 $$ $$ x + 3 > 4 $$ $$ x > 1 $$ Оба промежутка полностью принадлежат ОДЗ. Ответ: $(-2; 1) \cup (1; +\infty)$.