ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 804

Для доказательства воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел (неравенством Коши): $$ \frac{x + y}{2} \geqslant \sqrt{xy}, \quad \text{или} \quad x + y \geqslant 2\sqrt{xy} $$ Это неравенство следует из того, что $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \geqslant 0$, откуда $x - 2\sqrt{xy} + y \geqslant 0$, то есть $x + y \geqslant 2\sqrt{xy}$. Применим это неравенство к каждому из множителей левой части доказываемого выражения: 1) Для чисел $1$ и $a$ ($a > 0$): $$ 1 + a \geqslant 2\sqrt{1 \cdot a} = 2\sqrt{a} $$ 2) Для чисел $1$ и $b$ ($b > 0$): $$ 1 + b \geqslant 2\sqrt{1 \cdot b} = 2\sqrt{b} $$ 3) Для чисел $1$ и $c$ ($c > 0$): $$ 1 + c \geqslant 2\sqrt{1 \cdot c} = 2\sqrt{c} $$ Так как обе части всех трёх неравенств положительны, перемножим их почленно: $$ (1 + a)(1 + b)(1 + c) \geqslant 2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{c} $$ $$ (1 + a)(1 + b)(1 + c) \geqslant 8\sqrt{abc} $$ По условию $abc = 1$, следовательно, $\sqrt{abc} = \sqrt{1} = 1$. Подставим это значение в неравенство: $$ (1 + a)(1 + b)(1 + c) \geqslant 8 \cdot 1 $$ $$ (1 + a)(1 + b)(1 + c) \geqslant 8 $$ Неравенство доказано. (Равенство достигается при $a = b = c = 1$).