ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 780

Предположим противное: пусть существуют такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, при которых дискриминант равен $63$: $$ b^2 - 4ac = 63 $$ Выразим из этого равенства $b^2$: $$ b^2 = 4ac + 63 $$ Представим число $63$ в виде $60 + 3$: $$ b^2 = 4ac + 60 + 3 $$ $$ b^2 = 4(ac + 15) + 3 $$ Так как $a$ и $c$ — натуральные числа, то выражение $(ac + 15)$ является целым числом. Следовательно, число $b^2$ при делении на $4$ даёт остаток $3$. Исследуем, какие остатки может давать квадрат натурального числа $b$ при делении на $4$: 1. Если $b$ — чётное число, то его можно записать в виде $b = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$: $$ b^2 = (2k)^2 = 4k^2 $$ В этом случае $b^2$ делится на $4$ нацело (остаток $0$). 2. Если $b$ — нечётное число, то его можно записать в виде $b = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число: $$ b^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1 $$ В этом случае $b^2$ при делении на $4$ даёт остаток $1$. Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на $4$ может давать в остатке только $0$ или $1$ и не может давать остаток $3$. Получили противоречие: левая часть равенства $b^2 = 4(ac + 15) + 3$ не может давать остаток $3$ при делении на $4$, а правая часть даёт остаток $3$. Значит, наше предположение неверно, и дискриминант $D = b^2 - 4ac$ не может принимать значение, равное $63$. Что и требовалось доказать.