ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 761

Пусть $n$ — натуральное число, которое не делится на $3$. При делении любого натурального числа на $3$ возможны только три остатка: $0$, $1$ или $2$. Так как число $n$ не делится нацело на $3$, остаток от его деления на $3$ может быть равен только $1$ или $2$. Рассмотрим оба возможных случая. **Случай 1:** остаток равен $1$. Тогда число $n$ можно записать в виде: $n = 3k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Возведём число $n$ в квадрат: $$ n^2 = (3k + 1)^2 $$ Применим формулу квадрата суммы: $$ n^2 = 9k^2 + 6k + 1 $$ Вынесем общий множитель $3$ из первых двух слагаемых: $$ n^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1 $$ Так как $k$ — целое неотрицательное число, выражение $3k^2 + 2k$ также является целым неотрицательным числом. Обозначим его через $m$: $$ n^2 = 3m + 1 $$ Это означает, что при делении $n^2$ на $3$ остаток равен $1$. **Случай 2:** остаток равен $2$. Тогда число $n$ можно записать в виде: $n = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число. Возведём число $n$ в квадрат: $$ n^2 = (3k + 2)^2 $$ Применим формулу квадрата суммы: $$ n^2 = 9k^2 + 12k + 4 $$ Представим число $4$ в виде суммы $3 + 1$: $$ n^2 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 $$ Вынесем общий множитель $3$ за скобки: $$ n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 $$ Так как $k$ — целое неотрицательное число, выражение в скобках $3k^2 + 4k + 1$ также является целым неотрицательным числом. Обозначим его через $p$: $$ n^2 = 3p + 1 $$ Это означает, что при делении $n^2$ на $3$ остаток также равен $1$. Таким образом, в обоих возможных случаях остаток от деления квадрата этого числа на $3$ равен $1$, что и требовалось доказать.