ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 764

Пусть $A$ — исходное натуральное число, а $S(A)$ — сумма его цифр. Известно, что любое натуральное число при делении на $9$ даёт тот же остаток, что и сумма его цифр. Это означает, что разность числа и суммы его цифр делится на $9$: $$ (A - S(A)) \ \vdots \ 9 $$ При умножении числа $A$ на $5$ получаем число $5A$. Сумма его цифр равна $S(5A)$. Аналогично: $$ (5A - S(5A)) \ \vdots \ 9 $$ По условию задачи сумма цифр числа не меняется при умножении на $5$, то есть $S(5A) = S(A)$. Тогда: $$ (5A - S(A)) \ \vdots \ 9 $$ Рассмотрим разность двух полученных выражений: $$ (5A - S(A)) - (A - S(A)) = 5A - S(A) - A + S(A) = 4A $$ Так как оба выражения $(5A - S(A))$ и $(A - S(A))$ делятся на $9$, их разность $4A$ также делится на $9$: $$ 4A \ \vdots \ 9 $$ Так как числа $4$ и $9$ взаимно просты ($\text{НОД}(4, 9) = 1$), множитель $4$ не влияет на делимость на $9$. Следовательно, на $9$ делится само число $A$. Утверждение доказано.