ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 758

Чтобы сократить дробь, разложим числитель и знаменатель на множители с помощью формулы разложения квадратного трехчлена: $$ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) $$ 1) Разложим на множители числитель $2a^2 - 3a - 2$. Решим квадратное уравнение: $$ 2a^2 - 3a - 2 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ Найдем корни: $$ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $$ $$ a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Тогда числитель раскладывается на множители: $$ 2a^2 - 3a - 2 = 2(a - 2)\left(a + \frac{1}{2}\right) = (a - 2)(2a + 1) $$ 2) Разложим на множители знаменатель $a^2 + 3a - 10$. Решим квадратное уравнение: $$ a^2 + 3a - 10 = 0 $$ По теореме Виета: $a_1 + a_2 = -3$ $a_1 \cdot a_2 = -10$ Отсюда корни: $a_1 = 2$, $a_2 = -5$. Тогда знаменатель раскладывается на множители: $$ a^2 + 3a - 10 = (a - 2)(a + 5) $$ 3) Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение на общий множитель $(a - 2)$: $$ \frac{2a^2 - 3a - 2}{a^2 + 3a - 10} = \frac{(a - 2)(2a + 1)}{(a - 2)(a + 5)} = \frac{2a + 1}{a + 5} $$ Ответ: $\frac{2a + 1}{a + 5}$