ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 707

Используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. **1)** По условию: $$ \begin{cases} b_1 + b_2 = 20 \\ b_2 + b_3 = 60 \end{cases} $$ Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$, учитывая, что $b_2 = b_1 q$ и $b_3 = b_1 q^2$: $$ \begin{cases} b_1 + b_1 q = 20 \\ b_1 q + b_1 q^2 = 60 \end{cases} $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ \begin{cases} b_1 (1 + q) = 20 \\ b_1 q (1 + q) = 60 \end{cases} $$ Так как $b_1 (1 + q) = 20 \neq 0$, разделим второе уравнение системы на первое: $$ \frac{b_1 q (1 + q)}{b_1 (1 + q)} = \frac{60}{20} $$ $$ q = 3 $$ Подставим полученное значение $q = 3$ в первое уравнение: $$ b_1 (1 + 3) = 20 $$ $$ 4 b_1 = 20 $$ $$ b_1 = 5 $$ **Ответ к п. 1:** $b_1 = 5$, $q = 3$. --- **2)** По условию: $$ \begin{cases} b_1 + b_2 = 60 \\ b_1 + b_3 = 51 \end{cases} $$ Выразим $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$: $$ \begin{cases} b_1 + b_1 q = 60 \\ b_1 + b_1 q^2 = 51 \end{cases} $$ Вынесем множитель $b_1$ за скобки: $$ \begin{cases} b_1 (1 + q) = 60 \\ b_1 (1 + q^2) = 51 \end{cases} $$ Разделим второе уравнение системы на первое (так как $b_1(1 + q) = 60 \neq 0$): $$ \frac{b_1 (1 + q^2)}{b_1 (1 + q)} = \frac{51}{60} $$ Сократим дробь в правой части на 3: $$ \frac{1 + q^2}{1 + q} = \frac{17}{20} $$ Используя свойство пропорции, перемножим крест-накрест: $$ 20(1 + q^2) = 17(1 + q) $$ $$ 20 + 20q^2 = 17 + 17q $$ $$ 20q^2 - 17q + 3 = 0 $$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = (-17)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 3 = 289 - 240 = 49 = 7^2 $$ $$ q_1 = \frac{17 + 7}{2 \cdot 20} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5} = 0{,}6 $$ $$ q_2 = \frac{17 - 7}{2 \cdot 20} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ Найдем соответствующий первый член $b_1$ для каждого случая из уравнения $b_1(1 + q) = 60$: 1. При $q = 0{,}6$: $$ b_1 (1 + 0{,}6) = 60 $$ $$ 1{,}6 b_1 = 60 $$ $$ b_1 = \frac{60}{1{,}6} = 37{,}5 $$ 2. При $q = 0{,}25$: $$ b_1 (1 + 0{,}25) = 60 $$ $$ 1{,}25 b_1 = 60 $$ $$ b_1 = \frac{60}{1{,}25} = 48 $$ **Ответ к п. 2:** $b_1 = 37{,}5$, $q = 0{,}6$ или $b_1 = 48$, $q = 0{,}25$.