ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 706

**1)** Дано: $q = 3$, $S_5 = 484$. Найти: $b_1$, $b_5$. Для нахождения первого члена прогрессии воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $$ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} $$ Подставим известные значения при $n = 5$: $$ 484 = \frac{b_1(3^5 - 1)}{3 - 1} $$ Вычислим степень $3^5 = 243$: $$ 484 = \frac{b_1(243 - 1)}{2} $$ $$ 484 = \frac{b_1 \cdot 242}{2} $$ $$ 484 = 121b_1 $$ $$ b_1 = \frac{484}{121} = 4 $$ Теперь найдем пятый член прогрессии по формуле $n$-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $$ b_5 = b_1 \cdot q^4 $$ $$ b_5 = 4 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324 $$ Ответ к пункту 1: $b_1 = 4$, $b_5 = 324$. --- **2)** Дано: $b_3 = 0,024$, $S_3 = 0,504$. Найти: $b_1$, $q$. Выразим $b_3$ и сумму $S_3$ через первый член $b_1$ и знаменатель $q$: $$ b_3 = b_1 q^2 = 0,024 $$ $$ S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = b_1(1 + q + q^2) = 0,504 $$ Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} b_1 q^2 = 0,024 \\ b_1(1 + q + q^2) = 0,504 \end{cases} $$ Так как $b_3 \neq 0$, то $q \neq 0$. Разделим второе уравнение системы на первое: $$ \frac{b_1(1 + q + q^2)}{b_1 q^2} = \frac{0,504}{0,024} $$ $$ \frac{1 + q + q^2}{q^2} = 21 $$ Умножим обе части уравнения на $q^2$: $$ 1 + q + q^2 = 21q^2 $$ $$ 20q^2 - q - 1 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $$ $$ q_1 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 20} = \frac{10}{40} = 0,25 $$ $$ q_2 = \frac{1 - 9}{2 \cdot 20} = \frac{-8}{40} = -0,2 $$ Для каждого найденного значения $q$ найдем $b_1$ из уравнения $b_1 = \frac{0,024}{q^2}$: 1) Если $q = 0,25$: $$ b_1 = \frac{0,024}{0,25^2} = \frac{0,024}{0,0625} = 0,384 $$ 2) Если $q = -0,2$: $$ b_1 = \frac{0,024}{(-0,2)^2} = \frac{0,024}{0,04} = 0,6 $$ Ответ к пункту 2: $b_1 = 0,384$, $q = 0,25$ или $b_1 = 0,6$, $q = -0,2$.