ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 698

Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n - 1)d$ и формулу суммы первых $n$ членов $S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$. **1)** Дано: $a_3 = 25$, $a_{10} = -3$. Выразим данные члены прогрессии через $a_1$ и $d$: $$ \begin{cases} a_1 + 2d = 25 \\ a_1 + 9d = -3 \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 7d = -28 $$ $$ d = -4 $$ Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение: $$ a_1 + 2 \cdot (-4) = 25 $$ $$ a_1 - 8 = 25 $$ $$ a_1 = 33 $$ Ответ: $a_1 = 33$, $d = -4$. --- **2)** Дано: $a_4 = 10$, $a_7 = 19$. Запишем систему уравнений: $$ \begin{cases} a_1 + 3d = 10 \\ a_1 + 6d = 19 \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 3d = 9 $$ $$ d = 3 $$ Подставим $d = 3$ в первое уравнение: $$ a_1 + 3 \cdot 3 = 10 $$ $$ a_1 + 9 = 10 $$ $$ a_1 = 1 $$ Ответ: $a_1 = 1$, $d = 3$. --- **3)** Дано: $a_3 + a_7 = 4$, $a_2 + a_{14} = -8$. Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$: $$ \begin{cases} (a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 4 \\ (a_1 + d) + (a_1 + 13d) = -8 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2a_1 + 8d = 4 \\ 2a_1 + 14d = -8 \end{cases} $$ Разделим первое уравнение на $2$: $$ a_1 + 4d = 2 $$ Разделим второе уравнение на $2$: $$ a_1 + 7d = -4 $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 3d = -6 $$ $$ d = -2 $$ Найдем $a_1$: $$ a_1 + 4 \cdot (-2) = 2 $$ $$ a_1 - 8 = 2 $$ $$ a_1 = 10 $$ Ответ: $a_1 = 10$, $d = -2$. --- **4)** Дано: $a_2 + a_4 = 16$, $a_1 a_5 = 28$. Преобразуем первое уравнение: $$ (a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 16 $$ $$ 2a_1 + 4d = 16 $$ $$ a_1 + 2d = 8 \implies a_1 = 8 - 2d $$ Выразим $a_5$ через $d$: $$ a_5 = a_1 + 4d = (8 - 2d) + 4d = 8 + 2d $$ Подставим выражения для $a_1$ и $a_5$ во второе уравнение: $$ (8 - 2d)(8 + 2d) = 28 $$ $$ 64 - 4d^2 = 28 $$ $$ 4d^2 = 36 $$ $$ d^2 = 9 $$ $$ d_1 = 3, \quad d_2 = -3 $$ Найдем соответствующие значения первого члена: - при $d_1 = 3$: $$ a_1 = 8 - 2 \cdot 3 = 2 $$ - при $d_2 = -3$: $$ a_1 = 8 - 2 \cdot (-3) = 8 + 6 = 14 $$ Ответ: $a_1 = 2$, $d = 3$ или $a_1 = 14$, $d = -3$. --- **5)** Дано: $S_{20} = 110$, $a_{15} - a_5 = \frac{8}{3}$. Используем свойство разности членов прогрессии: $$ a_{15} - a_5 = (a_1 + 14d) - (a_1 + 4d) = 10d $$ $$ 10d = \frac{8}{3} $$ $$ d = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} $$ Запишем формулу суммы двадцати первых членов: $$ S_{20} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20 = 10(2a_1 + 19d) $$ По условию $S_{20} = 110$: $$ 10(2a_1 + 19d) = 110 $$ $$ 2a_1 + 19d = 11 $$ Подставим найденное значение $d$: $$ 2a_1 + 19 \cdot \frac{4}{15} = 11 $$ $$ 2a_1 + \frac{76}{15} = 11 $$ $$ 2a_1 = 11 - \frac{76}{15} = \frac{165 - 76}{15} = \frac{89}{15} $$ $$ a_1 = \frac{89}{30} = 2\frac{29}{30} $$ Ответ: $a_1 = \frac{89}{30} = 2\frac{29}{30}$, $d = \frac{4}{15}$. --- **6)** Дано: $a_1 + a_2 + a_3 = 15$, $a_1 a_2 a_3 = 80$. Выразим $a_1$ и $a_3$ через средний член $a_2$: $a_1 = a_2 - d$, $a_3 = a_2 + d$. Подставим их в первое уравнение: $$ (a_2 - d) + a_2 + (a_2 + d) = 15 $$ $$ 3a_2 = 15 $$ $$ a_2 = 5 $$ Теперь подставим $a_2 = 5$ во второе уравнение: $$ (5 - d) \cdot 5 \cdot (5 + d) = 80 $$ Разделим обе части на $5$: $$ (5 - d)(5 + d) = 16 $$ $$ 25 - d^2 = 16 $$ $$ d^2 = 9 $$ $$ d_1 = 3, \quad d_2 = -3 $$ Найдем значение $a_1$: - при $d_1 = 3$: $$ a_1 = a_2 - d = 5 - 3 = 2 $$ - при $d_2 = -3$: $$ a_1 = a_2 - d = 5 - (-3) = 8 $$ Ответ: $a_1 = 2$, $d = 3$ или $a_1 = 8$, $d = -3$.