ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 646

**1)** $x^2 - 3x + 2 > 0$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 $$ Коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Значения квадратного трехчлена положительны вне отрезка между корнями. Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$. --- **2)** $x^2 - 2x - 3 \leqslant 0$ Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$ $$ x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 $$ Коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Неравенство нестрогое, значения трехчлена неположительны на отрезке между корнями, включая сами корни. Ответ: $x \in [-1; 3]$. --- **3)** $x^2 - 7x + 12 > 0$ Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4 $$ Так как ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$), выражение строго больше нуля левее меньшего корня и правее большего. Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$. --- **4)** $-x^2 + 3x - 1 \geqslant 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x^2 - 3x + 1 \leqslant 0 $$ Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 1 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 $$ $$ x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$). Значения трехчлена неположительны между корнями, включая границы. Ответ: $x \in \left[\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right]$. --- **5)** $3 + 4x + 8x^2 < 0$ Запишем трехчлен в стандартном виде: $$ 8x^2 + 4x + 3 < 0 $$ Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 16 - 96 = -80 $$ Так как $D < 0$ и коэффициент при старшем члене $a = 8 > 0$, график функции $y = 8x^2 + 4x + 3$ целиком лежит выше оси абсцисс. Значит, выражение $8x^2 + 4x + 3 > 0$ при любых значениях $x$. Следовательно, неравенство не имеет решений. Ответ: нет решений. --- **6)** $x - x^2 - 1 \geqslant 0$ Запишем трехчлен в стандартном виде и умножим обе части на $-1$: $$ -x^2 + x - 1 \geqslant 0 $$ $$ x^2 - x + 1 \leqslant 0 $$ Вычислим дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 $$ Так как $D < 0$ и коэффициент $a = 1 > 0$, трехчлен $x^2 - x + 1$ принимает только положительные значения при всех действительных $x$. Неравенство $x^2 - x + 1 \leqslant 0$ не выполняется ни при каких значениях переменной. Ответ: нет решений. --- **7)** $2x^2 - x - 1 < 0$ Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $$ $$ x_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ Коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Значения меньше нуля расположены строго между корнями. Ответ: $x \in \left(-\frac{1}{2}; 1\right)$. --- **8)** $3x^2 + x - 4 > 0$ Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 4 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 $$ $$ x_1 = \frac{-1 - 7}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 3 > 0$). Трехчлен строго положителен вне интервала корней. Ответ: $x \in \left(-\infty; -\frac{4}{3}\right) \cup (1; +\infty)$.