ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов проверье себя / глава 4 - 4

Дана последовательность: $b_1 = 1$, $b_2 = \frac{1}{3}$, $b_3 = \frac{1}{9}, \ldots$ **1. Доказательство того, что последовательность является геометрической прогрессией** Числовая последовательность является геометрической прогрессией, если отношение каждого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену является постоянным числом, отличным от нуля (знаменателем прогрессии $q$). Найдём отношение последующих членов к предыдущим: $$ \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{b_3}{b_2} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$ Так как $\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{3} \neq 0$, отношение соседних членов последовательности постоянно. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = \frac{1}{3}$. Что и требовалось доказать. --- **2. Нахождение суммы первых пяти членов** Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии применим формулу: $$ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} $$ Подставим известные значения $b_1 = 1$, $q = \frac{1}{3}$ и $n = 5$: $$ S_5 = \frac{1 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{3}} $$ Вычислим значения в числителе и знаменателе: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243} $$ $$ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5 = 1 - \frac{1}{243} = \frac{242}{243} $$ $$ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$ Найдём сумму $S_5$: $$ S_5 = \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = \frac{121 \cdot 1}{81 \cdot 1} = \frac{121}{81} = 1\frac{40}{81} $$ **Ответ:** $S_5 = \frac{121}{81}$ (или $1\frac{40}{81}$).