ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 291

**1)** Дано: $b_3 = 135$, $S_3 = 195$. Найти $b_1$ и $q$. Используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$ и формулу суммы трёх первых членов $S_3 = b_1 + b_2 + b_3$: $$ b_3 = b_1 q^2 = 135 $$ $$ S_3 = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 195 $$ Подставим значение $b_3 = 135$ в выражение для суммы: $$ b_1 + b_1 q + 135 = 195 $$ $$ b_1(1 + q) = 60 $$ Разделим уравнение $b_1 q^2 = 135$ на уравнение $b_1(1 + q) = 60$ (так как $b_1 \neq 0$ и $q \neq -1$): $$ \frac{b_1 q^2}{b_1 (1 + q)} = \frac{135}{60} $$ $$ \frac{q^2}{1 + q} = \frac{9}{4} $$ Применим основное свойство пропорции: $$ 4q^2 = 9(1 + q) $$ $$ 4q^2 - 9q - 9 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2 $$ $$ q_1 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3 $$ $$ q_2 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} $$ Найдем значение $b_1$ для каждого полученного знаменателя $q$, используя формулу $b_1 = \frac{135}{q^2}$: 1. Если $q = 3$: $$ b_1 = \frac{135}{3^2} = \frac{135}{9} = 15 $$ 2. Если $q = -\frac{3}{4}$: $$ b_1 = \frac{135}{\left(-\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{135}{\frac{9}{16}} = 135 \cdot \frac{16}{9} = 15 \cdot 16 = 240 $$ Ответ к пункту 1: $b_1 = 15$, $q = 3$ или $b_1 = 240$, $q = -\frac{3}{4}$. --- **2)** Дано: $b_1 = 12$, $S_3 = 372$. Найти $q$ и $b_3$. Запишем сумму первых трех членов геометрической прогрессии: $$ S_3 = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = b_1(1 + q + q^2) $$ Подставим известные величины: $$ 12(1 + q + q^2) = 372 $$ Разделим обе части уравнения на $12$: $$ 1 + q + q^2 = 31 $$ $$ q^2 + q - 30 = 0 $$ По теореме Виета находим корни уравнения: $$ q_1 = 5, \quad q_2 = -6 $$ Найдем значение $b_3$ по формуле $b_3 = b_1 q^2$ для каждого найденного значения $q$: 1. Если $q = 5$: $$ b_3 = 12 \cdot 5^2 = 12 \cdot 25 = 300 $$ 2. Если $q = -6$: $$ b_3 = 12 \cdot (-6)^2 = 12 \cdot 36 = 432 $$ Ответ к пункту 2: $q = 5$, $b_3 = 300$ или $q = -6$, $b_3 = 432$.