ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 210

**1)** Функция $y = -2x^4$ **Свойства функции:** 1. Область определения: множество всех действительных чисел, то есть $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Множество значений: так как $x^4 \ge 0$, то $-2x^4 \le 0$, следовательно, $$ E(y) = (-\infty; 0] $$ 3. Чётность: функция чётная, поскольку для любого $x$ из области определения $$ y(-x) = -2(-x)^4 = -2x^4 = y(x) $$ График симметричен относительно оси ординат $Oy$. 4. Нули функции: $y = 0$ при $-2x^4 = 0$, откуда $x = 0$. График пересекает оси координат в точке $(0; 0)$. 5. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при всех $x \neq 0$. 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$. 7. Наибольшее значение функции равно $0$ (достигается при $x = 0$), наименьшего значения функция не имеет. **Эскиз графика:** Для построения эскиза графика составим таблицу значений: | $x$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-2$ | $-0{,}125$ | $0$ | $-0{,}125$ | $-2$ | График представляет собой параболу четвертой степени с вершиной в точке $(0; 0)$, ветви которой направлены вниз. В окрестности начала координат дно параболы более пологое, чем у обычной параболы $y = -x^2$, а при $|x| > 1$ ветви убывают значительно быстрее. --- **2)** Функция $y = \frac{1}{2}x^5$ **Свойства функции:** 1. Область определения: множество всех действительных чисел, то есть $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Множество значений: $$ E(y) = (-\infty; +\infty) $$ 3. Чётность: функция нечётная, так как $$ y(-x) = \frac{1}{2}(-x)^5 = -\frac{1}{2}x^5 = -y(x) $$ График симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. 4. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$. График проходит через точку $(0; 0)$. 5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$ и $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения, то есть на $(-\infty; +\infty)$. 7. Наибольшего и наименьшего значений нет. **Эскиз графика:** Для построения эскиза графика найдём координаты нескольких точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-16$ | $-0{,}5$ | $0$ | $0{,}5$ | $16$ | График напоминает кубическую параболу: проходит из III координатной четверти в I координатную четверть через точку $(0; 0)$, более плотно прижимается к оси $Ox$ на интервале $(-1; 1)$ и круто возрастает при $|x| > 1$. --- **3)** Функция $y = 2\sqrt[4]{x}$ **Свойства функции:** 1. Область определения: корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел, поэтому $$ D(y) = [0; +\infty) $$ 2. Множество значений: арифметрический корень принимает только неотрицательные значения, следовательно, $$ E(y) = [0; +\infty) $$ 3. Чётность: функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как её область определения не симметрична относительно нуля. 4. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$. График берёт начало в точке $(0; 0)$. 5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при всех $x \in (0; +\infty)$. 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. 7. Наименьшее значение функции равно $0$ (при $x = 0$), наибольшего значения нет. **Эскиз графика:** Найдём координаты опорных точек: | $x$ | $0$ | $1$ | $16$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $2$ | $4$ | График расположен только в I координатной четверти, выходит из начала координат $(0; 0)$ и плавно поднимается вправо, с ростом $x$ скорость роста кривой постепенно замедляется. --- **4)** Функция $y = 3\sqrt[3]{x}$ **Свойства функции:** 1. Область определения: корень нечётной степени существует при любом действительном значении подкоренного выражения, поэтому $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Множество значений: $$ E(y) = (-\infty; +\infty) $$ 3. Чётность: функция нечётная, так как $$ y(-x) = 3\sqrt[3]{-x} = -3\sqrt[3]{x} = -y(x) $$ График симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. 4. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$. Пересечение с осями координат — в точке $(0; 0)$. 5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$ и $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. 7. Наибольшего и наименьшего значений нет. **Эскиз графика:** Найдём координаты опорных точек: | $x$ | $-8$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $8$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-6$ | $-3$ | $0$ | $3$ | $6$ | График расположен в I и III координатных четвертях, плавно проходит через точку $(0; 0)$, касаясь в ней оси ординат $Oy$, и симметрично уходит ветвями вправо-вверх и влево-вниз.