ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 206

**1)** $\sqrt{x-2} > 3$ Так как правая часть неравенства положительна, возведём обе части неравенства в квадрат: $$ x - 2 > 3^2 $$ $$ x - 2 > 9 $$ $$ x > 11 $$ Условие неотрицательности подкоренного выражения $x - 2 \geqslant 0$ ($x \geqslant 2$) выполняется автоматически при $x > 11$. Ответ: $x \in (11; +\infty)$. --- **2)** $\sqrt{x-2} \leqslant 1$ Обе части неравенства неотрицательны. Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x - 2 \geqslant 0, \\ x - 2 \leqslant 1^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant 2, \\ x \leqslant 3 \end{cases} $$ Получаем: $2 \leqslant x \leqslant 3$. Ответ: $x \in [2; 3]$. --- **3)** $\sqrt{2-x} \geqslant x$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \geqslant g(x)$ равносильно объединению решений двух систем: 1) Случай, когда правая часть отрицательна, а подкоренное выражение неотрицательно: $$ \begin{cases} x < 0, \\ 2 - x \geqslant 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0, \\ x \leqslant 2 \end{cases} \implies x < 0 $$ 2) Случай, когда правая часть неотрицательна: $$ \begin{cases} x \geqslant 0, \\ 2 - x \geqslant x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geqslant 0, \\ x^2 + x - 2 \leqslant 0 \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Решением неравенства $x^2 + x - 2 \leqslant 0$ является отрезок $[-2; 1]$. С учётом условия $x \geqslant 0$ получаем: $0 \leqslant x \leqslant 1$. Объединяем решения обоих случаев: $$ (-\infty; 0) \cup [0; 1] = (-\infty; 1] $$ Ответ: $x \in (-\infty; 1]$. --- **4)** $\sqrt{2-x} < x$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} 2 - x \geqslant 0, \\ x > 0, \\ 2 - x < x^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \leqslant 2, \\ x > 0, \\ x^2 + x - 2 > 0 \end{cases} $$ Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Решением неравенства $x^2 + x - 2 > 0$ является $x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$. Найдём пересечение всех условий: $$ \begin{cases} 0 < x \leqslant 2, \\ x < -2 \text{ или } x > 1 \end{cases} \implies 1 < x \leqslant 2 $$ Ответ: $x \in (1; 2]$. --- **5)** $\sqrt{5x+11} > x+3$ Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: 1) Первая система: $$ \begin{cases} x + 3 < 0, \\ 5x + 11 \geqslant 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3, \\ x \geqslant -2{,}2 \end{cases} $$ Система решений не имеет, так как $-2{,}2 > -3$. 2) Вторая система: $$ \begin{cases} x + 3 \geqslant 0, \\ 5x + 11 > (x + 3)^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant -3, \\ 5x + 11 > x^2 + 6x + 9 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant -3, \\ x^2 + x - 2 < 0 \end{cases} $$ Корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 2$: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Решение неравенства $x^2 + x - 2 < 0$ — это интервал $(-2; 1)$. Пересекаем с условием $x \geqslant -3$: получаем интервал $(-2; 1)$. Объединяя результаты двух систем, получаем $(-2; 1)$. Ответ: $x \in (-2; 1)$. --- **6)** $\sqrt{x+3} \leqslant x+1$ Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x + 3 \geqslant 0, \\ x + 1 \geqslant 0, \\ x + 3 \leqslant (x + 1)^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant -3, \\ x \geqslant -1, \\ x + 3 \leqslant x^2 + 2x + 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant -1, \\ x^2 + x - 2 \geqslant 0 \end{cases} $$ Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Решение неравенства $x^2 + x - 2 \geqslant 0$ — это $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$. Пересекаем с условием $x \geqslant -1$: $$ x \in [1; +\infty) $$ Ответ: $x \in [1; +\infty)$.