ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 202

**1)** $\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 2x - 5$ Так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, правая часть уравнения должна удовлетворять условию: $$ 2x - 5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2{,}5 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{x^2 - 4x + 9})^2 = (2x - 5)^2 $$ $$ x^2 - 4x + 9 = 4x^2 - 20x + 25 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 4x^2 - x^2 - 20x + 4x + 25 - 9 = 0 $$ $$ 3x^2 - 16x + 16 = 0 $$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64 = 8^2 $$ $$ x_1 = \frac{16 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 $$ $$ x_2 = \frac{16 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Проверим корни по условию $x \ge 2{,}5$: * $x = 4 \ge 2{,}5$ — является корнем уравнения. * $x = 1\frac{1}{3} < 2{,}5$ — посторонний корень. **Ответ:** $4$ --- **2)** $\sqrt{x^2 + 3x + 6} = 3x + 8$ Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $$ 3x + 8 \ge 0 \implies 3x \ge -8 \implies x \ge -2\frac{2}{3} $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{x^2 + 3x + 6})^2 = (3x + 8)^2 $$ $$ x^2 + 3x + 6 = 9x^2 + 48x + 64 $$ Перенесём все члены в правую часть: $$ 9x^2 - x^2 + 48x - 3x + 64 - 6 = 0 $$ $$ 8x^2 + 45x + 58 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = 45^2 - 4 \cdot 8 \cdot 58 = 2025 - 1856 = 169 = 13^2 $$ $$ x_1 = \frac{-45 + 13}{2 \cdot 8} = \frac{-32}{16} = -2 $$ $$ x_2 = \frac{-45 - 13}{2 \cdot 8} = \frac{-58}{16} = -\frac{29}{8} = -3\frac{5}{8} $$ Проверим корни по условию $x \ge -2\frac{2}{3}$: * $x = -2 \ge -2\frac{2}{3}$ — является корнем уравнения. * $x = -3\frac{5}{8} < -2\frac{2}{3}$ — посторонний корень. **Ответ:** $-2$ --- **3)** $2x = 1 + \sqrt{x^2 + 5}$ Оставим корень в одной части уравнения: $$ \sqrt{x^2 + 5} = 2x - 1 $$ Условие существования решений: $$ 2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge 0{,}5 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{x^2 + 5})^2 = (2x - 1)^2 $$ $$ x^2 + 5 = 4x^2 - 4x + 1 $$ Перенесём слагаемые в правую часть: $$ 4x^2 - x^2 - 4x + 1 - 5 = 0 $$ $$ 3x^2 - 4x - 4 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $$ $$ x_1 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $$ Проверим корни по условию $x \ge 0{,}5$: * $x = 2 \ge 0{,}5$ — является корнем уравнения. * $x = -\frac{2}{3} < 0{,}5$ — посторонний корень. **Ответ:** $2$ --- **4)** $x + \sqrt{13 - 4x} = 4$ Изолируем квадратный корень: $$ \sqrt{13 - 4x} = 4 - x $$ Условие для правой части: $$ 4 - x \ge 0 \implies x \le 4 $$ Возведём обе части в квадрат: $$ (\sqrt{13 - 4x})^2 = (4 - x)^2 $$ $$ 13 - 4x = 16 - 8x + x^2 $$ Перенесём все члены в правую часть: $$ x^2 - 8x + 4x + 16 - 13 = 0 $$ $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 \cdot x_2 = 3 \end{cases} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 3 $$ Проверим полученные значения: * $x = 1 \le 4$, подкоренное выражение $13 - 4 \cdot 1 = 9 \ge 0$ — верно. * $x = 3 \le 4$, подкоренное выражение $13 - 4 \cdot 3 = 1 \ge 0$ — верно. Оба корня удовлетворяют уравнению. **Ответ:** $1$; $3$