ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 200

**1)** $(x - 1)^3 > 1$ Так как функция $y = t^3$ возрастает на всей числовой прямой, знак неравенства сохраняется при извлечении кубического корня: $$ x - 1 > \sqrt[3]{1} $$ $$ x - 1 > 1 $$ $$ x > 2 $$ Ответ: $x > 2$ (или $x \in (2; +\infty)$). --- **2)** $(x + 5)^3 > 8$ Представим правую часть неравенства в виде куба: $8 = 2^3$. Так как функция $y = t^3$ возрастает, получаем: $$ x + 5 > 2 $$ $$ x > 2 - 5 $$ $$ x > -3 $$ Ответ: $x > -3$ (или $x \in (-3; +\infty)$). --- **3)** $(2x - 3)^7 \geqslant 1$ Поскольку показатель степени нечётный ($n = 7$), функция $y = t^7$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется: $$ 2x - 3 \geqslant \sqrt[7]{1} $$ $$ 2x - 3 \geqslant 1 $$ $$ 2x \geqslant 4 $$ $$ x \geqslant 2 $$ Ответ: $x \geqslant 2$ (или $x \in [2; +\infty)$). --- **4)** $(3x - 5)^7 < 1$ Так как функция $y = t^7$ возрастает на всей числовой прямой: $$ 3x - 5 < \sqrt[7]{1} $$ $$ 3x - 5 < 1 $$ $$ 3x < 6 $$ $$ x < 2 $$ Ответ: $x < 2$ (или $x \in (-\infty; 2)$). --- **5)** $(3 - x)^4 > 256$ Заметим, что $256 = 4^4$. Перенесём всё в левую часть и разложим на множители по формуле разности квадратов: $$ (3 - x)^4 - 4^4 > 0 $$ $$ ((3 - x)^2 - 16)((3 - x)^2 + 16) > 0 $$ Так как выражение $(3 - x)^2 + 16 > 0$ при любых действительных значениях $x$, разделим на него обе части неравенства: $$ (3 - x)^2 - 16 > 0 $$ $$ (3 - x - 4)(3 - x + 4) > 0 $$ $$ (-x - 1)(7 - x) > 0 $$ Умножим обе скобки на $-1$ (то есть всё неравенство умножаем на $(-1) \cdot (-1) = 1$, знак сохраняется): $$ (x + 1)(x - 7) > 0 $$ Решим неравенство методом интервалов. Корни: $x = -1$ и $x = 7$. Получаем промежутки, где выражение положительно: $$ x < -1 \quad \text{или} \quad x > 7 $$ Ответ: $x < -1$, $x > 7$ (или $x \in (-\infty; -1) \cup (7; +\infty)$). --- **6)** $(4 - x)^4 > 81$ Заметим, что $81 = 3^4$. Перенесём число $81$ в левую часть и разложим разность четвёртых степеней: $$ (4 - x)^4 - 3^4 > 0 $$ $$ ((4 - x)^2 - 9)((4 - x)^2 + 9) > 0 $$ Так как множитель $(4 - x)^2 + 9 > 0$ при всех $x$, остаётся решить неравенство: $$ (4 - x)^2 - 9 > 0 $$ $$ (4 - x - 3)(4 - x + 3) > 0 $$ $$ (1 - x)(7 - x) > 0 $$ Вынесем знак «минус» из каждой скобки: $$ (x - 1)(x - 7) > 0 $$ Решим методом интервалов. Нули функции: $x = 1$ и $x = 7$. Выражение строго больше нуля при: $$ x < 1 \quad \text{или} \quad x > 7 $$ Ответ: $x < 1$, $x > 7$ (или $x \in (-\infty; 1) \cup (7; +\infty)$).