ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 917

**1)** Докажем, что $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$. Составим разность левой и правой частей неравенства: $$ a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ac) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac $$ Умножим и разделим полученное выражение на $2$: $$ \frac{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)}{2} = \frac{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac}{2} $$ Сгруппируем слагаемые в числителе в виде суммы полных квадратов: $$ \frac{(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2)}{2} = \frac{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2}{2} $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(a - b)^2 \geq 0$, $(b - c)^2 \geq 0$ и $(a - c)^2 \geq 0$ для любых чисел $a$, $b$, $c$. Сумма неотрицательных чисел неотрицательна, поэтому: $$ \frac{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2}{2} \geq 0 $$ Разность левой и правой частей исходного неравенства неотрицательна, следовательно: $$ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac $$ Неравенство доказано. --- **2)** Докажем, что $(a + b + c)^2 \leqslant 3(a^2 + b^2 + c^2)$. Раскроем квадрат трехчлена в левой части: $$ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac $$ Рассмотрим разность правой и левой частей неравенства: $$ 3(a^2 + b^2 + c^2) - (a + b + c)^2 $$ $$ = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac) $$ $$ = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac $$ Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты: $$ = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) $$ $$ = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 $$ Так как $(a - b)^2 \geq 0$, $(b - c)^2 \geq 0$ и $(a - c)^2 \geq 0$ при любых значениях $a$, $b$, $c$, то их сумма также неотрицательна: $$ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 \geq 0 $$ Таким образом: $$ 3(a^2 + b^2 + c^2) - (a + b + c)^2 \geq 0 $$ Отсюда следует, что: $$ (a + b + c)^2 \leqslant 3(a^2 + b^2 + c^2) $$ Неравенство доказано.