ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 916

**1)** Докажем неравенство: $$ a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{ab} + \frac{2}{\sqrt{ab}} $$ Сгруппируем слагаемые в левой части неравенства: $$ \left(a + b\right) + \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) $$ Для любых положительных чисел справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) $x + y \ge 2\sqrt{xy}$, так как $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \ge 0 \iff x - 2\sqrt{xy} + y \ge 0$. Применим это неравенство: 1. Для чисел $a > 0$ и $b > 0$: $$ a + b \ge 2\sqrt{ab} $$ 2. Для чисел $\frac{1}{a} > 0$ и $\frac{1}{b} > 0$: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} = \frac{2}{\sqrt{ab}} $$ Сложим почленно два верных неравенства одного знака: $$ (a + b) + \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 2\sqrt{ab} + \frac{2}{\sqrt{ab}} $$ Раскрыв скобки, получаем: $$ a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{ab} + \frac{2}{\sqrt{ab}} $$ Неравенство доказано. --- **2)** Докажем неравенство: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1 \ge \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{ab}} $$ Составим разность левой и правой частей неравенства: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1 - \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{ab}} $$ Умножим эту разность на $2$ и представим слагаемые $\frac{2}{a}$, $\frac{2}{b}$ и $2$ в виде сумм: $$ 2\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1 - \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{ab}}\right) = \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + 2 - \frac{2}{\sqrt{a}} - \frac{2}{\sqrt{b}} - \frac{2}{\sqrt{ab}} $$ Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить полные квадраты: $$ \left(\frac{1}{a} - \frac{2}{\sqrt{ab}} + \frac{1}{b}\right) + \left(\frac{1}{a} - \frac{2}{\sqrt{a}} + 1\right) + \left(\frac{1}{b} - \frac{2}{\sqrt{b}} + 1\right) $$ Свернем каждую скобку по формуле квадрата разности: $$ \left(\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{a}} - 1\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{b}} - 1\right)^2 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, каждое слагаемое больше или равно нулю: $$ \left(\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 \ge 0, \quad \left(\frac{1}{\sqrt{a}} - 1\right)^2 \ge 0, \quad \left(\frac{1}{\sqrt{b}} - 1\right)^2 \ge 0 $$ Следовательно, сумма неотрицательных чисел также неотрицательна: $$ \left(\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{a}} - 1\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{b}} - 1\right)^2 \ge 0 $$ Значит: $$ 2\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1 - \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{ab}}\right) \ge 0 $$ Разделим обе части на $2$: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1 - \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{ab}} \ge 0 $$ Перенесем вычитаемые слагаемые в правую часть: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1 \ge \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{ab}} $$ Неравенство доказано.