ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 874

Рассмотрим различные значения простого числа $n$: 1) Если $n = 2$: $$ n^2 + 8 = 2^2 + 8 = 4 + 8 = 12 $$ Число 12 — составное (делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12). Значит, $n = 2$ не подходит. 2) Если $n = 3$: $$ n^2 + 8 = 3^2 + 8 = 9 + 8 = 17 $$ Число 17 — простое. Значит, $n = 3$ удовлетворяет условию задачи. 3) Если $n > 3$: Так как $n$ — простое число, большее 3, оно не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать остаток 1 или 2, то есть его можно записать в виде $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$ (или $n = 3k \pm 1$), где $k \in \mathbb{N}$. Возведём $n$ в квадрат: $$ n^2 = (3k \pm 1)^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1 $$ Значит, квадрат любого простого числа $n > 3$ при делении на 3 даёт остаток 1. Тогда значение выражения $n^2 + 8$ можно представить в виде: $$ n^2 + 8 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1 + 8 = 3(3k^2 \pm 2k) + 9 = 3(3k^2 \pm 2k + 3) $$ Так как $n > 3$, то $n^2 + 8 > 3^2 + 8 = 17 > 3$. Число $n^2 + 8$ делится на 3 и строго больше 3, следовательно, оно является составным и не может быть простым. Таким образом, единственным решением является $n = 3$. Ответ: 3.