ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 871

Пусть $a$ и $b$ — данные натуральные числа, и по условию $a^2 + b^2$ делится на 3. Каждое натуральное число при делении на 3 может давать в остатке 0, 1 или 2. Рассмотрим, какие остатки при делении на 3 может давать квадрат натурального числа $n$: 1) Если число делится на 3, то есть $n = 3k$ (где $k \in \mathbb{N}$): $$ n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3 \cdot (3k^2) $$ В этом случае $n^2$ делится на 3 (остаток равен 0). 2) Если число при делении на 3 даёт остаток 1, то есть $n = 3k + 1$ (где $k$ — целое неотрицательное число): $$ n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 $$ В этом случае $n^2$ при делении на 3 даёт остаток 1. 3) Если число при делении на 3 даёт остаток 2, то есть $n = 3k + 2$ (где $k$ — целое неотрицательное число): $$ n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = (9k^2 + 12k + 3) + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 $$ В этом случае $n^2$ при делении на 3 также даёт остаток 1. Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 3 даёт в остатке либо 0 (если само число делится на 3), либо 1 (если само число не делится на 3). Рассмотрим возможные случаи для суммы квадратов $a^2 + b^2$: * Если оба числа $a$ и $b$ не делятся на 3, то каждое из чисел $a^2$ и $b^2$ даёт остаток 1. Тогда сумма $a^2 + b^2$ при делении на 3 даёт остаток $1 + 1 = 2$, то есть не делится на 3. * Если одно из чисел делится на 3, а другое нет, то одно из чисел $a^2$ или $b^2$ даёт остаток 0, а другое — 1. Тогда сумма $a^2 + b^2$ при делении на 3 даёт остаток $0 + 1 = 1$, то есть не делится на 3. * Если оба числа $a$ и $b$ делятся на 3, то и $a^2$, и $b^2$ делятся на 3 (дают остаток 0). Тогда их сумма $a^2 + b^2$ также делится на 3. Следовательно, сумма квадратов $a^2 + b^2$ делится на 3 тогда и только тогда, когда каждое из чисел $a$ и $b$ делится на 3, что и требовалось доказать.