ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 875

Чтобы доказать, что остаток от деления числа $p^2$ на 12 равен 1, достаточно показать, что разность $p^2 - 1$ делится на 12 без остатка (то есть $p^2 = 12k + 1$, где $k$ — натуральное число). Разложим выражение $p^2 - 1$ на множители по формуле разности квадратов: $$ p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1) $$ Число 12 можно представить в виде произведения взаимно простых чисел: $12 = 3 \cdot 4$. Докажем, что полученное произведение $(p - 1)(p + 1)$ делится и на 4, и на 3. 1. **Делимость на 4:** По условию, $p$ — простое число и $p \ge 5$, следовательно, $p$ нечётно. Тогда числа $(p - 1)$ и $(p + 1)$ являются двумя последовательными чётными числами. Одно из них делится на 2, а следующее за ним чётное число обязательно делится на 4. Значит, их произведение $(p - 1)(p + 1)$ делится на $2 \cdot 4 = 8$, а значит, тем более делится на 4. 2. **Делимость на 3:** Рассмотрим три последовательных целых числа: $(p - 1)$, $p$, $(p + 1)$. Из трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Так как $p \ge 5$ и $p$ — простое число, то $p$ не может делиться на 3. Значит, на 3 делится либо $(p - 1)$, либо $(p + 1)$. Следовательно, произведение $(p - 1)(p + 1)$ делится на 3. Так как произведение $(p - 1)(p + 1)$ делится на 4 и на 3, а числа 4 и 3 взаимно просты, то произведение делится на их произведение: $$ 4 \cdot 3 = 12 $$ Таким образом, разность $p^2 - 1$ делится на 12, то есть: $$ p^2 - 1 = 12k \implies p^2 = 12k + 1 $$ где $k$ — натуральное число. Следовательно, остаток от деления $p^2$ на 12 равен 1, что и требовалось доказать.