ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 847

Пусть искомое число равно $x$. Тогда стороны прямоугольного треугольника равны: — первый катет: $x^3$; — второй катет: $x^3 - x$; — гипотенуза: $x^3 + x$. По смыслу геометрической задачи длины сторон треугольника должны быть положительными, поэтому $x > 1$. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $$ (x^3)^2 + (x^3 - x)^2 = (x^3 + x)^2 $$ Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы: $$ x^6 + (x^6 - 2x^4 + x^2) = x^6 + 2x^4 + x^2 $$ $$ 2x^6 - 2x^4 + x^2 = x^6 + 2x^4 + x^2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $$ 2x^6 - x^6 - 2x^4 - 2x^4 + x^2 - x^2 = 0 $$ $$ x^6 - 4x^4 = 0 $$ Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки: $$ x^4(x^2 - 4) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x^4 = 0 \implies x = 0$ — не удовлетворяет условию $x > 1$ (длины сторон треугольника не могут быть равны нулю); 2) $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4$, откуда $x = 2$ или $x = -2$. Значение $x = -2$ не удовлетворяет условию $x > 1$ (длины сторон не могут быть отрицательными). Значит, искомое число равно $2$. Проверим стороны треугольника при $x = 2$: — первый катет: $2^3 = 8$; — второй катет: $2^3 - 2 = 6$; — гипотенуза: $2^3 + 2 = 10$. Так как $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$, найденное число удовлетворяет всем условиям задачи. Ответ: 2.