ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 846

Требуется доказать равенство (сумму квадратов первых $n$ натуральных чисел): $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $$ Для доказательства применим метод математической индукции. **1. База индукции** Проверим справедливость равенства при начальном значении $n = 1$: Левая часть: $1^2 = 1$. Правая часть: $$ \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1) = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1 $$ Левая часть равна правой ($1 = 1$), следовательно, при $n = 1$ равенство верно. **2. Индукционное предположение** Предположим, что равенство справедливо для некоторого натурального числа $n = k$: $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 = \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1) $$ **3. Индукционный переход** Докажем, что равенство выполняется и для $n = k + 1$, то есть: $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3) $$ Прибавим к левой части предположения слагаемое $(k+1)^2$: $$ (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2) + (k+1)^2 = \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2 $$ Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки: $$ = (k+1) \left( \frac{k(2k+1)}{6} + (k+1) \right) $$ Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $$ = (k+1) \cdot \frac{k(2k+1) + 6(k+1)}{6} = (k+1) \cdot \frac{2k^2 + k + 6k + 6}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} $$ Разложим квадратный трёхчлен $2k^2 + 7k + 6$ на множители: $$ 2k^2 + 7k + 6 = 2k^2 + 4k + 3k + 6 = 2k(k + 2) + 3(k + 2) = (k + 2)(2k + 3) $$ Подставим полученное разложение в дробь: $$ \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3) $$ Индукционный переход доказан. **Вывод:** На основании принципа математической индукции равенство $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $$ верно для любого натурального числа $n$. Что и требовалось доказать.