ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 829

1) $\frac{a^2 + ab - 6b^2}{a^2 - ab - 2b^2}$ Разложим на множители числитель дроби, представив средний член $ab$ в виде $3ab - 2ab$: $$ a^2 + ab - 6b^2 = a^2 + 3ab - 2ab - 6b^2 = a(a + 3b) - 2b(a + 3b) = (a + 3b)(a - 2b) $$ Разложим на множители знаменатель дроби, представив средний член $-ab$ в виде $ab - 2ab$: $$ a^2 - ab - 2b^2 = a^2 + ab - 2ab - 2b^2 = a(a + b) - 2b(a + b) = (a + b)(a - 2b) $$ Подставим полученные разложения в дробь и сократим её на общий множитель $(a - 2b)$: $$ \frac{a^2 + ab - 6b^2}{a^2 - ab - 2b^2} = \frac{(a + 3b)(a - 2b)}{(a + b)(a - 2b)} = \frac{a + 3b}{a + b} $$ Ответ: $\frac{a + 3b}{a + b}$. 2) $\frac{2a^2 + 5ab - 3b^2}{4a^2 + 4ab - 3b^2}$ Разложим числитель на множители методом группировки, представив $5ab$ как $6ab - ab$: $$ 2a^2 + 5ab - 3b^2 = 2a^2 + 6ab - ab - 3b^2 = 2a(a + 3b) - b(a + 3b) = (a + 3b)(2a - b) $$ Разложим знаменатель на множители, представив $4ab$ как $6ab - 2ab$: $$ 4a^2 + 4ab - 3b^2 = 4a^2 + 6ab - 2ab - 3b^2 = 2a(2a + 3b) - b(2a + 3b) = (2a + 3b)(2a - b) $$ Сократим дробь на общий множитель $(2a - b)$: $$ \frac{2a^2 + 5ab - 3b^2}{4a^2 + 4ab - 3b^2} = \frac{(a + 3b)(2a - b)}{(2a + 3b)(2a - b)} = \frac{a + 3b}{2a + 3b} $$ Ответ: $\frac{a + 3b}{2a + 3b}$. 3) $\frac{8a^3 + 27b^3}{2a^2 + ab - 3b^2}$ Разложим числитель по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$: $$ 8a^3 + 27b^3 = (2a)^3 + (3b)^3 = (2a + 3b)((2a)^2 - 2a \cdot 3b + (3b)^2) = (2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) $$ Разложим знаменатель на множители методом группировки, представив $ab$ как $3ab - 2ab$: $$ 2a^2 + ab - 3b^2 = 2a^2 - 2ab + 3ab - 3b^2 = 2a(a - b) + 3b(a - b) = (a - b)(2a + 3b) $$ Сократим дробь на общий множитель $(2a + 3b)$: $$ \frac{8a^3 + 27b^3}{2a^2 + ab - 3b^2} = \frac{(2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)}{(a - b)(2a + 3b)} = \frac{4a^2 - 6ab + 9b^2}{a - b} $$ Ответ: $\frac{4a^2 - 6ab + 9b^2}{a - b}$.