ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 810

1) Точки пересечения параболы с осью абсцисс соответствуют значениям $x$, при которых $y = 0$. Значит, числа $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{2}{3}$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases} $$ Находим коэффициенты $p$ и $q$: $$ -p = -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = -\frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1}{6} \implies p = -\frac{1}{6} $$ $$ q = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} $$ Ответ: $p = -\frac{1}{6}$, $q = -\frac{1}{3}$. --- 2) Парабола касается оси абсцисс в точке $x = -7$. Это означает, что точка $(-7; 0)$ является вершиной параболы, а квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет единственный корень (два совпадающих корня $x_1 = x_2 = -7$). Тогда квадратный трехчлен можно представить в виде полного квадрата: $$ y = (x - (-7))^2 = (x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49 $$ Сравнивая с уравнением $y = x^2 + px + q$, получаем: $p = 14$, $q = 49$. Ответ: $p = 14$, $q = 49$. --- 3) По условию парабола проходит через две точки: - пересекает ось абсцисс в точке $x = 2$, то есть проходит через точку $(2; 0)$; - пересекает ось ординат в точке $y = -1$, то есть проходит через точку $(0; -1)$. Подставим координаты точки $(0; -1)$ в уравнение параболы $y = x^2 + px + q$: $$ -1 = 0^2 + p \cdot 0 + q \implies q = -1 $$ Теперь подставим координаты точки $(2; 0)$ и найденное значение $q = -1$: $$ 0 = 2^2 + p \cdot 2 + (-1) $$ $$ 0 = 4 + 2p - 1 $$ $$ 2p + 3 = 0 $$ $$ 2p = -3 \implies p = -1,5 $$ Ответ: $p = -1,5$, $q = -1$.