ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 781

### 1) $$ \begin{cases} 5x - 4 \geq x - 3, \\ -2x + 11 > x + 1, \\ 12 - 3x > 4 - 5x. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы отдельно: 1. Первое неравенство: $5x - 4 \geq x - 3$ $5x - x \geq -3 + 4$ $4x \geq 1$ $x \geq \frac{1}{4}$ 2. Второе неравенство: $-2x + 11 > x + 1$ $-2x - x > 1 - 11$ $-3x > -10$ При делении на отрицательное число $-3$ меняем знак неравенства: $x < \frac{10}{3}$ $x < 3\frac{1}{3}$ 3. Третье неравенство: $12 - 3x > 4 - 5x$ $-3x + 5x > 4 - 12$ $2x > -8$ $x > -4$ Запишем полученную систему: $$ \begin{cases} x \geq \frac{1}{4}, \\ x < 3\frac{1}{3}, \\ x > -4. \end{cases} $$ Найдём пересечение решений на числовой прямой: Условиям $x \geq \frac{1}{4}$ и $x > -4$ одновременно удовлетворяют $x \geq \frac{1}{4}$. С учётом $x < 3\frac{1}{3}$ получаем $\frac{1}{4} \leq x < 3\frac{1}{3}$. **Ответ:** $\left[\frac{1}{4}; 3\frac{1}{3}\right)$ --- ### 2) $$ \begin{cases} 3x \leq 5 - 6x, \\ -3x + 1 \leq 4x - 1, \\ 7 - 2x > 2x + 9. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство: 1. Первое неравенство: $3x \leq 5 - 6x$ $3x + 6x \leq 5$ $9x \leq 5$ $x \leq \frac{5}{9}$ 2. Второе неравенство: $-3x + 1 \leq 4x - 1$ $-3x - 4x \leq -1 - 1$ $-7x \leq -2$ Делим на $-7$, меняя знак неравенства: $x \geq \frac{2}{7}$ 3. Третье неравенство: $7 - 2x > 2x + 9$ $-2x - 2x > 9 - 7$ $-4x > 2$ Делим на $-4$, меняя знак неравенства: $x < -\frac{2}{4}$ $x < -\frac{1}{2}$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x \leq \frac{5}{9}, \\ x \geq \frac{2}{7}, \\ x < -\frac{1}{2}. \end{cases} $$ Сравним условия: $x \geq \frac{2}{7}$ и $x < -\frac{1}{2}$. Так как $-\frac{1}{2} < 0 < \frac{2}{7}$, эти числовые промежутки не пересекаются. Значит, общих решений у неравенств нет. **Ответ:** решений нет --- ### 3) $$ \begin{cases} 3x - 2 > 2(x - 3) + 5x, \\ 2x^2 + (5 + x)^2 > 3(x - 5)(x + 5). \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $3x - 2 > 2x - 6 + 5x$ $3x - 2 > 7x - 6$ $3x - 7x > -6 + 2$ $-4x > -4$ Делим на $-4$, меняя знак: $x < 1$ 2. Решим второе неравенство, используя формулы сокращённого умножения: $2x^2 + (25 + 10x + x^2) > 3(x^2 - 25)$ $3x^2 + 10x + 25 > 3x^2 - 75$ Вычтем $3x^2$ из обеих частей неравенства: $10x + 25 > -75$ $10x > -75 - 25$ $10x > -100$ $x > -10$ Объединим результаты в систему: $$ \begin{cases} x < 1, \\ x > -10. \end{cases} $$ Пересечением решений является интервал $-10 < x < 1$. **Ответ:** $(-10; 1)$ --- ### 4) $$ \begin{cases} 8x(x + 2)(x - 2) < (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 5x, \\ \left(\frac{1}{4}x + 2\right)\left(2 - \frac{1}{4}x\right) - \left(3 - \frac{1}{4}x\right)\left(\frac{1}{4}x + 2\right) > -3. \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство, применив формулу разности квадратов и формулу разности кубов: $8x(x^2 - 4) < ((2x)^3 - 3^3) - 5x$ $8x^3 - 32x < 8x^3 - 27 - 5x$ Вычтем $8x^3$ из обеих частей: $-32x < -27 - 5x$ $-32x + 5x < -27$ $-27x < -27$ $x > 1$ 2. Решим второе неравенство, вынеся общий множитель $\left(\frac{1}{4}x + 2\right)$ за скобки: $\left(\frac{1}{4}x + 2\right) \cdot \left(\left(2 - \frac{1}{4}x\right) - \left(3 - \frac{1}{4}x\right)\right) > -3$ $\left(\frac{1}{4}x + 2\right) \cdot \left(2 - \frac{1}{4}x - 3 + \frac{1}{4}x\right) > -3$ $\left(\frac{1}{4}x + 2\right) \cdot (-1) > -3$ $-\frac{1}{4}x - 2 > -3$ $-\frac{1}{4}x > -3 + 2$ $-\frac{1}{4}x > -1$ Умножим обе части на $-4$, меняя знак неравенства: $x < 4$ Имеем систему: $$ \begin{cases} x > 1, \\ x < 4. \end{cases} $$ Пересечением решений является интервал $1 < x < 4$. **Ответ:** $(1; 4)$ --- ### 5) $$ \begin{cases} 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 3) > 2x(x + 3), \\ \frac{x + 3}{3} > \frac{3x + 4}{2}. \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: Перенесём слагаемые в левую часть: $2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 3) - 2x(x + 3) > 0$ Умножим двойку на первую скобку: $2\left(x - \frac{1}{2}\right) = 2x - 1$. $(2x - 1)(x + 3) - 2x(x + 3) > 0$ Вынесем общий множитель $(x + 3)$: $(x + 3)(2x - 1 - 2x) > 0$ $(x + 3) \cdot (-1) > 0$ $-(x + 3) > 0$ $x + 3 < 0$ $x < -3$ 2. Решим второе неравенство: $\frac{x + 3}{3} > \frac{3x + 4}{2}$ Умножим обе части неравенства на общий знаменатель $6$: $2(x + 3) > 3(3x + 4)$ $2x + 6 > 9x + 12$ $2x - 9x > 12 - 6$ $-7x > 6$ $x < -\frac{6}{7}$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x < -3, \\ x < -\frac{6}{7}. \end{cases} $$ Так как $-3 < -\frac{6}{7}$, то общим решением является $x < -3$. **Ответ:** $(-\infty; -3)$ --- ### 6) $$ \begin{cases} \left(3x + \frac{1}{2}\right)(2 - x) + \frac{1}{2}(x + 1) > 3(3 - x)(3 + x) - 1, \\ 2 - (2x + 3)^2 + (3 + 2x)(2x - 3) < -2\frac{1}{3}(9 + x) + \frac{1}{3}. \end{cases} $$ 1. Преобразуем первое неравенство: Раскроем скобки в левой части: $6x - 3x^2 + 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} = -3x^2 + 6x + \frac{3}{2}$ Раскроем скобки в правой части: $3(9 - x^2) - 1 = 27 - 3x^2 - 1 = -3x^2 + 26$ Запишем неравенство: $-3x^2 + 6x + 1{,}5 > -3x^2 + 26$ Прибавим $3x^2$ к обеим частям: $6x + 1{,}5 > 26$ $6x > 26 - 1{,}5$ $6x > 24{,}5$ $x > \frac{24{,}5}{6}$ $x > \frac{49}{12}$ $x > 4\frac{1}{12}$ 2. Преобразуем второе неравенство: В левой части раскроем квадрат двучлена и применим формулу разности квадратов $(2x + 3)(2x - 3) = 4x^2 - 9$: $2 - (4x^2 + 12x + 9) + (4x^2 - 9) = 2 - 4x^2 - 12x - 9 + 4x^2 - 9 = -12x - 16$ В правой части переведём смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$: $-\frac{7}{3}(9 + x) + \frac{1}{3} = -21 - \frac{7}{3}x + \frac{1}{3} = -\frac{7}{3}x - \frac{62}{3}$ Получаем неравенство: $-12x - 16 < -\frac{7}{3}x - \frac{62}{3}$ Умножим обе части на $3$: $-36x - 48 < -7x - 62$ $-36x + 7x < -62 + 48$ $-29x < -14$ Делим на $-29$, меняя знак неравенства: $x > \frac{14}{29}$ Составим систему из полученных решений: $$ \begin{cases} x > 4\frac{1}{12}, \\ x > \frac{14}{29}. \end{cases} $$ Поскольку $4\frac{1}{12} > 1$, а $\frac{14}{29} < 1$, то $4\frac{1}{12} > \frac{14}{29}$. Следовательно, общим решением является $x > 4\frac{1}{12}$. **Ответ:** $\left(4\frac{1}{12}; +\infty\right)$