ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 780

**№ 780** Докажем неравенство $a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 \geqslant 0$. Преобразуем левую часть неравенства, сгруппировав слагаемые с переменной $a$ и переменной $b$, и выделим полные квадраты: $$ a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 = (a^2 - 2a) + (4b^2 - 12b) + 10 $$ Для выражения с переменной $a$: $$ a^2 - 2a = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 - 1 = (a - 1)^2 - 1 $$ Для выражения с переменной $b$: $$ 4b^2 - 12b = (2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot 3 + 3^2 - 9 = (2b - 3)^2 - 9 $$ Подставим полученные выражения в исходное: $$ (a - 1)^2 - 1 + (2b - 3)^2 - 9 + 10 = (a - 1)^2 + (2b - 3)^2 + (-1 - 9 + 10) = (a - 1)^2 + (2b - 3)^2 $$ Таким образом: $$ a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 = (a - 1)^2 + (2b - 3)^2 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то при любых значениях $a$ и $b$ выполняются неравенства: $(a - 1)^2 \geqslant 0$ и $(2b - 3)^2 \geqslant 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом: $$ (a - 1)^2 + (2b - 3)^2 \geqslant 0 $$ Следовательно, $a^2 + 4b^2 - 2a - 12b + 10 \geqslant 0$ при любых $a$ и $b$. Неравенство доказано.