ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 767

**1)** $x^2 - 10x + 30 < 0$ Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 10x + 30 = 0$. Найдем его дискриминант: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 100 - 120 = -20 $$ Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх и парабола расположена целиком выше оси абсцисс. Это означает, что при всех действительных значениях $x$ выражение $x^2 - 10x + 30 > 0$. Таким образом, неравенство $x^2 - 10x + 30 < 0$ не имеет решений. Ответ: решений нет. --- **2)** $-x^2 + x - 1 < 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x^2 - x + 1 > 0 $$ Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - x + 1 = 0$. Найдем его дискриминант: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 $$ Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх и она лежит строго выше оси $Ox$. Следовательно, выражение $x^2 - x + 1 > 0$ выполняется при любом значении $x$. Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$. --- **3)** $x^2 + 4x + 5 < 0$ Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + 4x + 5 = 0$. Найдем его дискриминант: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 $$ Так как $D < 0$, уравнение корней не имеет. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Парабола не пересекает ось $Ox$ и лежит выше неё, то есть $x^2 + 4x + 5 > 0$ при любом значении $x$. Значит, неравенство $x^2 + 4x + 5 < 0$ не выполняется ни при каких $x$. Ответ: решений нет. --- **4)** $2x^2 - 4x + 13 > 0$ Рассмотрим квадратное уравнение $2x^2 - 4x + 13 = 0$. Найдем его дискриминант: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13 = 16 - 104 = -88 $$ Так как $D < 0$, действительных корней нет. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вся парабола расположена выше оси $Ox$, то есть $2x^2 - 4x + 13 > 0$ для любого значения $x$. Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$. --- **5)** $4x^2 - 9x + 7 < 0$ Рассмотрим квадратное уравнение $4x^2 - 9x + 7 = 0$. Найдем его дискриминант: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31 $$ Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и график лежит целиком выше оси $Ox$. Следовательно, квадратный трехчлен принимает только положительные значения при всех $x$, и неравенство $4x^2 - 9x + 7 < 0$ не выполняется. Ответ: решений нет. --- **6)** $-11 + 8x - 2x^2 < 0$ Запишем трехчлен в стандартном виде: $$ -2x^2 + 8x - 11 < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, меняя знак неравенства на противоположный: $$ 2x^2 - 8x + 11 > 0 $$ Рассмотрим квадратное уравнение $2x^2 - 8x + 11 = 0$. Найдем его дискриминант: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 64 - 88 = -24 $$ Так как $D < 0$, корней нет. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $Ox$. Неравенство $2x^2 - 8x + 11 > 0$ верно при любых значениях $x$. Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.