ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 765

**1)** $x^2 - 8x + 7 > 0$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 7$: $$ x^2 - 8x + 7 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 7 \end{cases} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 7 $$ График функции $y = x^2 - 8x + 7$ — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Значения функции положительны вне промежутка между корнями. **Ответ:** $x \in (-\infty; 1) \cup (7; +\infty)$. --- **2)** $x^2 + 3x - 54 < 0$ Найдем корни квадратного уравнения: $$ x^2 + 3x - 54 = 0 $$ Дискриминант: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2 $$ $$ x_1 = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9, \quad x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$ Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Трехчлен принимает отрицательные значения между корнями. **Ответ:** $x \in (-9; 6)$. --- **3)** $\frac{1}{2}x^2 + 0,5x - 1 > 0$ Запишем $\frac{1}{2}$ как $0,5$ и умножим обе части неравенства на $2$: $$ x^2 + x - 2 > 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$: По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -2 \end{cases} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 1 $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$). Неравенство строго больше нуля вне промежутка корней. **Ответ:** $x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$. --- **4)** $5x^2 + 9,5x - 1 < 0$ Умножим обе части неравенства на $2$, чтобы избавиться от десятичной дроби: $$ 10x^2 + 19x - 2 < 0 $$ Найдем корни уравнения $10x^2 + 19x - 2 = 0$: $$ D = 19^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-2) = 361 + 80 = 441 = 21^2 $$ $$ x_1 = \frac{-19 - 21}{2 \cdot 10} = \frac{-40}{20} = -2 $$ $$ x_2 = \frac{-19 + 21}{2 \cdot 10} = \frac{2}{20} = 0,1 $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 10 > 0$), поэтому трехчлен меньше нуля между корнями. **Ответ:** $x \in (-2; 0,1)$. --- **5)** $-x^2 - 3x + 4 > 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x^2 + 3x - 4 < 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$: По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1 \cdot x_2 = -4 \end{cases} \implies x_1 = -4, \quad x_2 = 1 $$ Так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Неравенство со знаком «меньше» выполняется между корнями. **Ответ:** $x \in (-4; 1)$. --- **6)** $-8x^2 + 17x - 2 \leqslant 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ 8x^2 - 17x + 2 \geqslant 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $8x^2 - 17x + 2 = 0$: $$ D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 - 64 = 225 = 15^2 $$ $$ x_1 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} $$ $$ x_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 8} = \frac{32}{16} = 2 $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 8 > 0$). Неравенство нестрогое, выражение больше или равно нулю вне отрезка между корнями, включая сами корни. **Ответ:** $x \in \left(-\infty; \frac{1}{8}\right] \cup [2; +\infty)$.