ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 769

**1)** $(x+2)(x-1) \geq 0$ Применим метод интервалов. Найдем нули функции $f(x) = (x+2)(x-1)$: $$ (x+2)(x-1) = 0 $$ $$ x+2 = 0 \quad \text{или} \quad x-1 = 0 $$ $$ x_1 = -2, \quad x_2 = 1 $$ Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\geq$), точки $-2$ и $1$ являются закрашенными (входят в решение). Они разбивают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; -2]$, $[-2; 1]$, $[1; +\infty)$. Определим знаки выражения $(x+2)(x-1)$ на каждом промежутке: * при $x > 1$ (например, $x = 2$): $(2+2)(2-1) = 4 \cdot 1 > 0$ (знак «$+$»); * при $-2 < x < 1$ (например, $x = 0$): $(0+2)(0-1) = 2 \cdot (-1) < 0$ (знак «$-$»); * при $x < -2$ (например, $x = -3$): $(-3+2)(-3-1) = (-1) \cdot (-4) > 0$ (знак «$+$»). Нам подходят промежутки, где выражение неотрицательно ($\geq 0$). Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$. --- **2)** $(x+2)(x-1)^2 \leq 0$ Найдем нули выражения: $$ (x+2)(x-1)^2 = 0 $$ $$ x_1 = -2, \quad x_2 = 1 $$ Выражение $(x-1)^2 \geq 0$ при любых значениях $x$. Рассмотрим два случая: 1. Если $(x-1)^2 = 0$, то есть $x = 1$, получаем: $(1+2) \cdot 0^2 = 0 \leq 0$ — верное числовое равенство, значит, $x = 1$ является решением. 2. Если $x \neq 1$, то $(x-1)^2 > 0$. Разделив обе части неравенства на положительное выражение $(x-1)^2$, получаем: $$ x+2 \leq 0 $$ $$ x \leq -2 $$ Объединяя найденные решения, получаем: $x \leq -2$ и отдельную точку $x = 1$. Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup \{1\}$. --- **3)** $(x+2)(x-1)^2 > 0$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, множитель $(x-1)^2 \geq 0$ для всех $x$: * при $x = 1$ выражение обращается в нуль: $(1+2)(1-1)^2 = 0$, но неравенство строгое ($> 0$), поэтому $x \neq 1$; * при $x \neq 1$ множитель $(x-1)^2 > 0$. Разделив обе части строгого неравенства на положительное число $(x-1)^2$, получаем равносильную систему: $$ \begin{cases} x + 2 > 0, \\ x \neq 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -2, \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (1; +\infty)$. --- **4)** $(2-x)(x+3x^2) \geq 0$ Вынесем общий множитель $x$ из второй скобки: $$ (2-x) \cdot x(1+3x) \geq 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени стал положительным, изменив при этом знак неравенства: $$ (x-2) \cdot x(3x+1) \leq 0 $$ Запишем множители в привычном порядке: $$ x(3x+1)(x-2) \leq 0 $$ Найдем нули функции: $$ x(3x+1)(x-2) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad 3x+1 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{3}, \quad x-2 = 0 \Rightarrow x_3 = 2 $$ Отметим нули на числовой прямой: точки $-\frac{1}{3}$, $0$, $2$ (все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое). Они делят прямую на четыре интервала. Определим знаки выражения $x(3x+1)(x-2)$ на промежутках: * при $x > 2$ (например, $x = 3$): $3 \cdot 10 \cdot 1 > 0$ (знак «$+$»); * при $0 < x < 2$ (например, $x = 1$): $1 \cdot 4 \cdot (-1) < 0$ (знак «$-$»); * при $-\frac{1}{3} < x < 0$ (например, $x = -0{,}1$): $(-0{,}1) \cdot 0{,}7 \cdot (-2{,}1) > 0$ (знак «$+$»); * при $x < -\frac{1}{3}$ (например, $x = -1$): $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) < 0$ (знак «$-$»). Нам требуются промежутки со знаком «$-$» (меньше или равно нулю). Ответ: $x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \cup [0; 2]$.