ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 770

### 1) $\frac{3-x}{2x+1} \geqslant 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{x-3}{2x+1} \leqslant 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Найдём нуль числителя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Так как знак неравенства нестрогий ($\leqslant$), точка $x = 3$ будет закрашенной. 2. Найдём нуль знаменателя: $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0{,}5$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $x = -0{,}5$ будет выколотой. 3. Отметим полученные точки на числовой прямой и определим знаки дроби на каждом промежутке: - при $x > 3$ (например, $x = 4$): $\frac{4-3}{2 \cdot 4 + 1} = \frac{1}{9} > 0$ (знак «$+$»); - при $-0{,}5 < x < 3$ (например, $x = 0$): $\frac{0-3}{2 \cdot 0 + 1} = \frac{-3}{1} < 0$ (знак «$-$»); - при $x < -0{,}5$ (например, $x = -1$): $\frac{-1-3}{2 \cdot (-1) + 1} = \frac{-4}{-1} = 4 > 0$ (знак «$+$»). Неравенству удовлетворяет промежуток со знаком «$-$», включая точку $3$. Ответ: $x \in (-0{,}5; 3]$. --- ### 2) $\frac{0,5+x}{x-2} \leqslant 0$ Применим метод интервалов: 1. Нуль числителя: $0{,}5 + x = 0 \implies x = -0{,}5$ (точка закрашенная). 2. Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$ (точка выколотая, так как делить на ноль нельзя). 3. Нанесём точки $-0{,}5$ и $2$ на числовую прямую и определим знаки выражения на получившихся интервалах: - при $x > 2$ (например, $x = 3$): $\frac{0{,}5+3}{3-2} = 3{,}5 > 0$ (знак «$+$»); - при $-0{,}5 < x < 2$ (например, $x = 0$): $\frac{0{,}5+0}{0-2} = -0{,}25 < 0$ (знак «$-$»); - при $x < -0{,}5$ (например, $x = -1$): $\frac{0{,}5-1}{-1-2} = \frac{-0{,}5}{-3} > 0$ (знак «$+$»). Нам требуется определить, где дробь меньше или равна нулю (знак «$-$»). Ответ: $x \in [-0{,}5; 2)$. --- ### 3) $\frac{(x-1)(x+2)}{x} < 0$ Применим метод интервалов: 1. Нули числителя: - $x - 1 = 0 \implies x = 1$; - $x + 2 = 0 \implies x = -2$. 2. Нуль знаменателя: $x = 0$. 3. Неравенство строгое, поэтому все точки ($-2$, $0$, $1$) являются выколотыми. Нанесём их на числовую прямую и определим знаки дроби на интервалах: - при $x > 1$ (например, $x = 2$): $\frac{(2-1)(2+2)}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2} > 0$ (знак «$+$»); - при $0 < x < 1$ (например, $x = 0{,}5$): $\frac{(0{,}5-1)(0{,}5+2)}{0{,}5} = \frac{-0{,}5 \cdot 2{,}5}{0{,}5} < 0$ (знак «$-$»); - при $-2 < x < 0$ (например, $x = -1$): $\frac{(-1-1)(-1+2)}{-1} = \frac{-2 \cdot 1}{-1} > 0$ (знак «$+$»); - при $x < -2$ (например, $x = -3$): $\frac{(-3-1)(-3+2)}{-3} = \frac{-4 \cdot (-1)}{-3} < 0$ (знак «$-$»). Выбираем интервалы со знаком «$-$». Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 1)$. --- ### 4) $\frac{2x}{(3+x)(1-x)} < 0$ Преобразуем множитель $(1 - x)$ в знаменателе, вынеся знак минус: $$ \frac{2x}{-(x+3)(x-1)} < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$ \frac{2x}{(x+3)(x-1)} > 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нуль числителя: $2x = 0 \implies x = 0$. 2. Нули знаменателя: - $x + 3 = 0 \implies x = -3$; - $x - 1 = 0 \implies x = 1$. 3. Все граничные точки ($-3$, $0$, $1$) — выколотые. Нанесём их на числовую прямую и определим знаки выражения: - при $x > 1$ (например, $x = 2$): $\frac{2 \cdot 2}{(2+3)(2-1)} = \frac{4}{5 \cdot 1} > 0$ (знак «$+$»); - при $0 < x < 1$ (например, $x = 0{,}5$): $\frac{2 \cdot 0{,}5}{(0{,}5+3)(0{,}5-1)} = \frac{1}{3{,}5 \cdot (-0{,}5)} < 0$ (знак «$-$»); - при $-3 < x < 0$ (например, $x = -1$): $\frac{2 \cdot (-1)}{(-1+3)(-1-1)} = \frac{-2}{2 \cdot (-2)} > 0$ (знак «$+$»); - при $x < -3$ (например, $x = -4$): $\frac{2 \cdot (-4)}{(-4+3)(-4-1)} = \frac{-8}{-1 \cdot (-5)} < 0$ (знак «$-$»). Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «$+$»). Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (1; +\infty)$.