ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 716

**1)** $0,(7)$ Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$ Так как в периоде одна цифра, умножим обе части равенства на $10$: $$ 10x = 7,777... = 7,(7) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 10x - x = 7,(7) - 0,(7) $$ $$ 9x = 7 $$ $$ x = \frac{7}{9} $$ Ответ: $\frac{7}{9}$. --- **2)** $1,(3)$ Пусть $x = 1,(3) = 1,333...$ Умножим обе части равенства на $10$: $$ 10x = 13,333... = 13,(3) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 10x - x = 13,(3) - 1,(3) $$ $$ 9x = 12 $$ $$ x = \frac{12}{9} $$ Сократим числитель и знаменатель на $3$: $$ x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Ответ: $1\frac{1}{3}$ (или $\frac{4}{3}$). --- **3)** $2,(31)$ Пусть $x = 2,(31) = 2,3131...$ Так как в периоде две цифры, умножим обе части равенства на $100$: $$ 100x = 231,3131... = 231,(31) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 100x - x = 231,(31) - 2,(31) $$ $$ 99x = 229 $$ $$ x = \frac{229}{99} = 2\frac{31}{99} $$ Ответ: $2\frac{31}{99}$ (или $\frac{229}{99}$). --- **4)** $0,(52)$ Пусть $x = 0,(52) = 0,5252...$ Так как в периоде две цифры, умножим обе части равенства на $100$: $$ 100x = 52,5252... = 52,(52) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 100x - x = 52,(52) - 0,(52) $$ $$ 99x = 52 $$ $$ x = \frac{52}{99} $$ Ответ: $\frac{52}{99}$. --- **5)** $1,1(3)$ Пусть $x = 1,1(3) = 1,1333...$ Умножим обе части на $10$, чтобы период начинался сразу после запятой: $$ 10x = 11,333... = 11,(3) $$ Умножим исходное равенство на $100$: $$ 100x = 113,333... = 113,(3) $$ Вычтем из равенства $100x = 113,(3)$ равенство $10x = 11,(3)$: $$ 100x - 10x = 113,(3) - 11,(3) $$ $$ 90x = 102 $$ $$ x = \frac{102}{90} $$ Сократим дробь на наибольший общий делитель $6$: $$ x = \frac{102 : 6}{90 : 6} = \frac{17}{15} = 1\frac{2}{15} $$ Ответ: $1\frac{2}{15}$ (или $\frac{17}{15}$). --- **6)** $2,3(7)$ Пусть $x = 2,3(7) = 2,3777...$ Умножим обе части на $10$: $$ 10x = 23,777... = 23,(7) $$ Умножим исходное равенство на $100$: $$ 100x = 237,777... = 237,(7) $$ Вычтем из равенства $100x = 237,(7)$ равенство $10x = 23,(7)$: $$ 100x - 10x = 237,(7) - 23,(7) $$ $$ 90x = 214 $$ $$ x = \frac{214}{90} $$ Сократим дробь на $2$: $$ x = \frac{214 : 2}{90 : 2} = \frac{107}{45} = 2\frac{17}{45} $$ Ответ: $2\frac{17}{45}$ (или $\frac{107}{45}$).