ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 691

**1)** $(x-2)(x^2-9)>0$ Разложим множитель $(x^2-9)$ по формуле разности квадратов: $$ (x-2)(x-3)(x+3)>0 $$ Применим метод интервалов. Найдём нули функции $f(x)=(x-2)(x-3)(x+3)$: $$ x-2=0 \implies x=2 $$ $$ x-3=0 \implies x=3 $$ $$ x+3=0 \implies x=-3 $$ Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми: $-3$, $2$, $3$. Определим знаки функции на полученных интервалах: - при $x > 3$ выражение положительно: $(+)$; - при $2 < x < 3$ выражение отрицательно: $(-)$; - при $-3 < x < 2$ выражение положительно: $(+)$; - при $x < -3$ выражение отрицательно: $(-)$. Нам подходят промежутки со знаком «$+$». Ответ: $x \in (-3; 2) \cup (3; +\infty)$. --- **2)** $(x^2-1)(x+4)<0$ Разложим множитель $(x^2-1)$ на множители: $$ (x-1)(x+1)(x+4)<0 $$ Найдём нули функции $f(x)=(x-1)(x+1)(x+4)$: $$ x-1=0 \implies x=1 $$ $$ x+1=0 \implies x=-1 $$ $$ x+4=0 \implies x=-4 $$ Отметим выколотые точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-4$, $-1$, $1$. Определим знаки на интервалах: - при $x > 1$: $(+)$; - при $-1 < x < 1$: $(-)$; - при $-4 < x < -1$: $(+)$; - при $x < -4$: $(-)$. Нам подходят промежутки со знаком «$-»$. Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-1; 1)$. --- **3)** $\frac{(x+3)(x-5)}{x+1} \leqslant 0$ Применим метод интервалов для дробно-рационального неравенства. 1. Нули числителя: $x+3=0 \implies x=-3$; $x-5=0 \implies x=5$. 2. Нули знаменателя: $x+1=0 \implies x=-1$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $x=-1$ выколотая ($x \ne -1$). Точки числителя закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\leqslant 0$). Нанесём точки на числовую прямую: $-3$ (закрашенная), $-1$ (выколотая), $5$ (закрашенная). Определим знаки дроби на каждом промежутке: - при $x > 5$: $(+)$; - при $-1 < x < 5$: $(-)$; - при $-3 < x \leqslant -1$: при $x \in (-3; -1)$ дробь имеет знак $(+)$; - при $x < -3$: $(-)$. Выбираем промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup (-1; 5]$. --- **4)** $\frac{x-7}{(4-x)(2x+1)} \geqslant 0$ Преобразуем множитель $(4-x)$ в знаменателе, вынеся знак минус: $$ \frac{x-7}{-(x-4)(2x+1)} \geqslant 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ \frac{x-7}{(x-4)(2x+1)} \leqslant 0 $$ Найдём нули числителя и знаменателя: - числитель: $x-7=0 \implies x=7$ (точка закрашенная); - знаменатель: $x-4=0 \implies x=4$ (точка выколотая); - знаменатель: $2x+1=0 \implies x=-0{,}5$ (точка выколотая). Отметим точки на числовой прямой: $-0{,}5$, $4$, $7$. Расставим знаки на интервалах: - при $x > 7$: $(+)$; - при $4 < x \leqslant 7$: $(-)$; - при $-0{,}5 < x < 4$: $(+)$; - при $x < -0{,}5$: $(-)$. Нам требуются промежутки со знаком «$-$» и значение, обращающее дробь в ноль. Ответ: $x \in (-\infty; -0{,}5) \cup (4; 7]$. --- **5)** $\frac{4x^2-4x-3}{x+3} \geqslant 0$ Разложим числитель $4x^2-4x-3$ на линейные множители. Решим квадратное уравнение: $$ 4x^2-4x-3=0 $$ $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $$ $$ x_1 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = 1{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{4 - 8}{2 \cdot 4} = -\frac{4}{8} = -0{,}5 $$ Тогда числитель раскладывается как $4(x-1{,}5)(x+0{,}5) = (2x-3)(2x+1)$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{(2x-3)(2x+1)}{x+3} \geqslant 0 $$ Найдём нули: - числитель: $x = 1{,}5$ и $x = -0{,}5$ (закрашенные точки); - знаменатель: $x+3=0 \implies x = -3$ (выколотая точка, так как $x \ne -3$). Нанесём точки на числовую прямую: $-3$, $-0{,}5$, $1{,}5$. Определим знаки выражения на интервалах: - при $x > 1{,}5$: $(+)$; - при $-0{,}5 < x < 1{,}5$: $(-)$; - при $-3 < x < -0{,}5$: $(+)$; - при $x < -3$: $(-)$. Выбираем промежутки со знаком «$+$» с учётом закрашенных точек. Ответ: $x \in (-3; -0{,}5] \cup [1{,}5; +\infty)$. --- **6)** $\frac{2x^2-3x-2}{x-3} < 0$ Разложим числитель $2x^2-3x-2$ на множители. Решим квадратное уравнение: $$ 2x^2-3x-2=0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0{,}5 $$ Числитель раскладывается как $2(x-2)(x+0{,}5) = (x-2)(2x+1)$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{(x-2)(2x+1)}{x-3} < 0 $$ Найдём нули числителя и знаменателя: - числитель: $x = 2$, $x = -0{,}5$; - знаменатель: $x = 3$. Так как неравенство строгое, все точки на числовой прямой выколотые: $-0{,}5$, $2$, $3$. Определим знаки дроби на полученных интервалах: - при $x > 3$: $(+)$; - при $2 < x < 3$: $(-)$; - при $-0{,}5 < x < 2$: $(+)$; - при $x < -0{,}5$: $(-)$. Нам подходят промежутки со знаком «$-»$. Ответ: $x \in (-\infty; -0{,}5) \cup (2; 3)$.