ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 694

### 1) $$ \frac{1}{3}x - \frac{4}{9}x^2 \geq 1 - x $$ Умножим обе части неравенства на $9$, чтобы избавиться от дробей: $$ 3x - 4x^2 \geq 9(1 - x) $$ $$ 3x - 4x^2 \geq 9 - 9x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные: $$ -4x^2 + 3x + 9x - 9 \geq 0 $$ $$ -4x^2 + 12x - 9 \geq 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ 4x^2 - 12x + 9 \leq 0 $$ Свернём выражение в левой части по формуле квадрата разности: $$ (2x - 3)^2 \leq 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(2x - 3)^2 \geq 0$, неравенство выполняется только в случае равенства нулю: $$ 2x - 3 = 0 $$ $$ 2x = 3 $$ $$ x = 1,5 $$ **Ответ:** $x = 1,5$ --- ### 2) $$ \frac{1}{3}x(x+1) \leq (x-1)^2 $$ Умножим обе части неравенства на $3$: $$ x(x + 1) \leq 3(x - 1)^2 $$ Раскроем скобки: $$ x^2 + x \leq 3(x^2 - 2x + 1) $$ $$ x^2 + x \leq 3x^2 - 6x + 3 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 0 \leq 3x^2 - x^2 - 6x - x + 3 $$ $$ 2x^2 - 7x + 3 \geq 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена $2x^2 - 7x + 3 = 0$: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 2 > 0$), поэтому значения трёхчлена неотрицательны вне интервала корней: $$ x \leq \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x \geq 3 $$ **Ответ:** $x \in \left(-\infty; \frac{1}{2}\right] \cup [3; +\infty)$ --- ### 3) $$ x(1-x) > 1,5 - x $$ Раскроем скобки в левой части: $$ x - x^2 > 1,5 - x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ -x^2 + x + x - 1,5 > 0 $$ $$ -x^2 + 2x - 1,5 > 0 $$ Умножим обе части на $-2$, изменив знак неравенства: $$ 2x^2 - 4x + 3 < 0 $$ Вычислим дискриминант квадратного трёхчлена: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 $$ Так как $D < 0$ и коэффициент при старшем члене $a = 2 > 0$, парабола целиком лежит выше оси $Ox$, то есть $2x^2 - 4x + 3 > 0$ при любых действительных значениях $x$. Следовательно, неравенство $2x^2 - 4x + 3 < 0$ не имеет решений. **Ответ:** решений нет --- ### 4) $$ \frac{1}{3}x - \frac{4}{9} \geq x(x-1) $$ Умножим обе части неравенства на $9$: $$ 3x - 4 \geq 9x(x - 1) $$ $$ 3x - 4 \geq 9x^2 - 9x $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 0 \geq 9x^2 - 9x - 3x + 4 $$ $$ 9x^2 - 12x + 4 \leq 0 $$ Свернём левую часть по формуле квадрата разности: $$ (3x - 2)^2 \leq 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, данное неравенство может выполняться только тогда, когда выражение равно нулю: $$ 3x - 2 = 0 $$ $$ 3x = 2 $$ $$ x = \frac{2}{3} $$ **Ответ:** $x = \frac{2}{3}$ --- ### 5) $$ x\left(\frac{x}{4} - 1\right) \leq x^2 + x + 1 $$ Раскроем скобки в левой части: $$ \frac{x^2}{4} - x \leq x^2 + x + 1 $$ Умножим обе части неравенства на $4$: $$ x^2 - 4x \leq 4x^2 + 4x + 4 $$ Перенесём все члены в правую часть: $$ 0 \leq 4x^2 - x^2 + 4x + 4x + 4 $$ $$ 3x^2 + 8x + 4 \geq 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена $3x^2 + 8x + 4 = 0$: $$ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 = 4^2 $$ $$ x_1 = \frac{-8 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 $$ $$ x_2 = \frac{-8 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 3 > 0$). Значит, выражение неотрицательно вне интервала корней: $$ x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq -\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -2] \cup \left[-\frac{2}{3}; +\infty\right)$ --- ### 6) $$ 2x - 2,5 > x(x-1) $$ Раскроем скобки в правой части: $$ 2x - 2,5 > x^2 - x $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 0 > x^2 - x - 2x + 2,5 $$ $$ x^2 - 3x + 2,5 < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$ 2x^2 - 6x + 5 < 0 $$ Вычислим дискриминант: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4 $$ Дискриминант отрицателен ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 2 > 0$). Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$ и лежит строго выше неё, то есть $2x^2 - 6x + 5 > 0$ при любых $x$. Следовательно, неравенство не имеет решений. **Ответ:** решений нет