ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 688

**1)** $-9x^2 + 1 \leqslant 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ 9x^2 - 1 \geqslant 0 $$ Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $$ (3x - 1)(3x + 1) \geqslant 0 $$ Найдём нули функции $f(x) = (3x - 1)(3x + 1)$: $$ 3x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad 3x + 1 = 0 $$ $$ x_1 = \frac{1}{3}, \quad x_2 = -\frac{1}{3} $$ Нанесём полученные точки на числовую прямую. График функции $y = 9x^2 - 1$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Значения выражения неотрицательны вне промежутка между корнями: Ответ: $x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$. --- **2)** $-4x^2 + 1 \geqslant 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$, сменив знак неравенства: $$ 4x^2 - 1 \leqslant 0 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ (2x - 1)(2x + 1) \leqslant 0 $$ Найдём нули функции: $$ 2x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad 2x + 1 = 0 $$ $$ x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{1}{2} $$ Ветви параболы $y = 4x^2 - 1$ направлены вверх, выражение неположительно на отрезке между корнями: Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$. --- **3)** $-5x^2 - x \geqslant 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$: $$ 5x^2 + x \leqslant 0 $$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(5x + 1) \leqslant 0 $$ Найдём нули функции: $$ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad 5x + 1 = 0 \implies x_2 = -\frac{1}{5} $$ Ветви параболы направлены вверх, выражение неположительно между корнями: Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{5}; 0\right]$. --- **4)** $-3x^2 + x \leqslant 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$: $$ 3x^2 - x \geqslant 0 $$ Вынесем $x$ за скобки: $$ x(3x - 1) \geqslant 0 $$ Найдём корни уравнения $x(3x - 1) = 0$: $$ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad 3x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{3} $$ Ветви параболы направлены вверх, выражение неотрицательно вне промежутка между корнями: Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup \left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$. --- **5)** $-2x^2 + 4x + 30 < 0$ Разделим обе части неравенства на $-2$, изменив знак неравенства: $$ x^2 - 2x - 15 > 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -15 \end{cases} \implies x_1 = -3, \quad x_2 = 5 $$ Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$ (x + 3)(x - 5) > 0 $$ Ветви параболы направлены вверх, выражение строго положительно вне интервала между корнями: Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty)$. --- **6)** $-2x^2 + 9x - 4 > 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$: $$ 2x^2 - 9x + 4 < 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения $2x^2 - 9x + 4 = 0$ через дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 $$ $$ x_2 = \frac{9 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Ветви параболы направлены вверх, выражение строго меньше нуля внутри интервала между корнями: Ответ: $x \in \left(\frac{1}{2}; 4\right)$. --- **7)** $4x^2 + 3x - 1 < 0$ Найдём корни квадратного уравнения $4x^2 + 3x - 1 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$ $$ x_2 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1 $$ Ветви параболы направлены вверх, выражение строго отрицательно между корнями: Ответ: $x \in \left(-1; \frac{1}{4}\right)$. --- **8)** $2x^2 + 3x - 2 < 0$ Найдём корни уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 $$ Ветви параболы направлены вверх, выражение строго меньше нуля между корнями: Ответ: $x \in \left(-2; \frac{1}{2}\right)$.