ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 690

**1)** $x^2 - 3x + 8 > 0$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 3x + 8$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх. Вычислим дискриминант: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23 $$ Так как $D < 0$, уравнение $x^2 - 3x + 8 = 0$ не имеет действительных корней, а график функции $y = x^2 - 3x + 8$ целиком расположен выше оси $Ox$. Следовательно, неравенство верно при любых действительных значениях $x$. **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$ --- **2)** $x^2 - 5x + 10 < 0$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 5x + 10$. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вычислим дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 25 - 40 = -15 $$ Так как $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней и при всех $x$ принимает только положительные значения ($x^2 - 5x + 10 > 0$). Значит, неравенство $x^2 - 5x + 10 < 0$ не имеет решений. **Ответ:** решений нет --- **3)** $2x^2 - 3x + 5 \geq 0$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $2x^2 - 3x + 5$. Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вычислим дискриминант: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 $$ Так как $D < 0$, график функции не пересекает ось $Ox$ и лежит выше неё, то есть $2x^2 - 3x + 5 > 0$ при любых $x$. Следовательно, нестрогое неравенство выполняется для всех действительных чисел. **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$ --- **4)** $3x^2 - 4x + 5 \leq 0$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $3x^2 - 4x + 5$. Коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вычислим дискриминант: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44 $$ Так как $D < 0$, трёхчлен принимает строго положительные значения при всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, неравенство $3x^2 - 4x + 5 \leq 0$ не имеет решений. **Ответ:** решений нет --- **5)** $-x^2 + 2x + 4 \leq 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x^2 - 2x - 4 \geq 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 4 = 0$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20 $$ $$ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} $$ Корни уравнения: $x_1 = 1 - \sqrt{5}$, $x_2 = 1 + \sqrt{5}$. Так как ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$), выражение $x^2 - 2x - 4 \geq 0$ больше или равно нулю вне интервала корней (включая сами корни). **Ответ:** $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{5}] \cup [1 + \sqrt{5}; +\infty)$ *(Примечание: если в условии опечатка в знаке и исходное неравенство имеет вид $-x^2 + 2x - 4 \leq 0$, то после умножения на $-1$ получаем $x^2 - 2x + 4 \geq 0$. Для него $D = 4 - 16 = -12 < 0$, и решением является $x \in (-\infty; +\infty)$).* --- **6)** $-4x^2 + 7x - 5 > 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ 4x^2 - 7x + 5 < 0 $$ Рассмотрим трёхчлен $4x^2 - 7x + 5$. Коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вычислим дискриминант: $$ D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 49 - 80 = -31 $$ Так как $D < 0$ и $a > 0$, парабола целиком лежит выше оси $Ox$, то есть $4x^2 - 7x + 5 > 0$ при любых $x$. Значит, неравенство $4x^2 - 7x + 5 < 0$ не выполняется ни при каких $x$. **Ответ:** решений нет