ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 685

**1)** Решим неравенство: $$ \frac{x^2 + 3x - 10}{x^2 + x - 2} \leqslant 0 $$ Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. 1. Для числителя $x^2 + 3x - 10 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \end{cases} \implies x_1 = -5, \quad x_2 = 2 $$ Значит, $x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)$. 2. Для знаменателя $x^2 + x - 2 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -2 \end{cases} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 1 $$ Значит, $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$. Перепишем исходное неравенство в виде: $$ \frac{(x + 5)(x - 2)}{(x + 2)(x - 1)} \leqslant 0 $$ Применим метод интервалов: * нули числителя: $x = -5$, $x = 2$ (точки закрашенные, так как неравенство нестрогое); * нули знаменателя: $x = -2$, $x = 1$ (точки выколотые, так как делить на ноль нельзя). Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-5$, $-2$, $1$, $2$. Они разбивают числовую прямую на пять интервалов: * при $x > 2$ все множители положительны, знак дроби: «$+$»; * на интервале $(1; 2]$ знак дроби: «$-$»; * на интервале $(-2; 1)$ знак дроби: «$+$»; * на полуинтервале $[-5; -2)$ знак дроби: «$-$»; * на луче $(-\infty; -5]$ знак дроби: «$+$». Так как требуется определить, где выражение $\leqslant 0$, выбираем интервалы со знаком «$-$», включая нули числителя. Ответ: $x \in [-5; -2) \cup (1; 2]$. --- **2)** Решим неравенство: $$ \frac{x^2 - 3x - 4}{x^2 + x - 6} \geqslant 0 $$ Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. 1. Для числителя $x^2 - 3x - 4 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -4 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 4 $$ Значит, $x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)$. 2. Для знаменателя $x^2 + x - 6 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} \implies x_1 = -3, \quad x_2 = 2 $$ Значит, $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$. Перепишем неравенство в виде: $$ \frac{(x + 1)(x - 4)}{(x + 3)(x - 2)} \geqslant 0 $$ Применим метод интервалов: * нули числителя: $x = -1$, $x = 4$ (точки закрашенные, так как неравенство нестрогое); * нули знаменателя: $x = -3$, $x = 2$ (точки выколотые, так как делить на ноль нельзя). Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-3$, $-1$, $2$, $4$. Они разбивают числовую прямую на пять интервалов: * при $x > 4$ все множители положительны, знак дроби: «$+$»; * на полуинтервале $(2; 4]$ знак дроби: «$-$»; * на полуинтервале $[-1; 2)$ знак дроби: «$+$»; * на полуинтервале $(-3; -1]$ знак дроби: «$-$»; * на луче $(-\infty; -3)$ знак дроби: «$+$». Так как требуется определить, где выражение $\geqslant 0$, выбираем интервалы со знаком «$+$», включая нули числителя. Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup [-1; 2) \cup [4; +\infty)$.