ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 684

1) Решим неравенство: $$ \frac{x^2 - x - 12}{x - 1} > 0 $$ Разложим числитель дроби на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 12 = 0$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3 $$ Таким образом, $x^2 - x - 12 = (x + 3)(x - 4)$. Перепишем исходное неравенство в виде: $$ \frac{(x + 3)(x - 4)}{x - 1} > 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нули числителя: $x = -3$, $x = 4$. 2. Нули знаменателя: $x = 1$. Отметим полученные точки на числовой прямой (все точки выколотые, так как неравенство строгое) и определим знаки выражения на каждом интервале: * на интервале $(4; +\infty)$: знак «$+$» (например, при $x = 5$: $\frac{(5+3)(5-4)}{5-1} > 0$); * на интервале $(1; 4)$: знак «$-$» (например, при $x = 2$: $\frac{(2+3)(2-4)}{2-1} < 0$); * на интервале $(-3; 1)$: знак «$+$» (например, при $x = 0$: $\frac{(0+3)(0-4)}{0-1} > 0$); * на интервале $(-\infty; -3)$: знак «$-$» (например, при $x = -4$: $\frac{(-4+3)(-4-4)}{-4-1} < 0$). Нам подходят промежутки, где выражение принимает положительные значения: $$ x \in (-3; 1) \cup (4; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-3; 1) \cup (4; +\infty)$. --- 2) Решим неравенство: $$ \frac{x^2 - 4x - 12}{x - 2} < 0 $$ Разложим числитель дроби на множители, решив уравнение $x^2 - 4x - 12 = 0$: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $$ $$ x_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2 $$ Следовательно, $x^2 - 4x - 12 = (x + 2)(x - 6)$. Исходное неравенство примет вид: $$ \frac{(x + 2)(x - 6)}{x - 2} < 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нули числителя: $x = -2$, $x = 6$. 2. Нули знаменателя: $x = 2$. Отметим точки $-2$, $2$ и $6$ на числовой прямой выколотыми точками и определим знаки на интервалах: * на интервале $(6; +\infty)$: знак «$+$» (например, при $x = 7$: $\frac{(7+2)(7-6)}{7-2} > 0$); * на интервале $(2; 6)$: знак «$-$» (например, при $x = 3$: $\frac{(3+2)(3-6)}{3-2} < 0$); * на интервале $(-2; 2)$: знак «$+$» (например, при $x = 0$: $\frac{(0+2)(0-6)}{0-2} > 0$); * на интервале $(-\infty; -2)$: знак «$-$» (например, при $x = -3$: $\frac{(-3+2)(-3-6)}{-3-2} < 0$). Нам подходят промежутки, где выражение принимает отрицательные значения: $$ x \in (-\infty; -2) \cup (2; 6) $$ Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; 6)$.