ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 683

**1)** $(x^2 - 7x + 12)(x^2 - x + 2) \leqslant 0$ Разложим на множители квадратный трёхчлен $x^2 - 7x + 12$. Для этого найдём его корни, решив квадратное уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4 $$ Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$. Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - x + 2$. Найдём его дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 $$ Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), трёхчлен $x^2 - x + 2 > 0$ при любых действительных значениях $x$. Разделим обе части исходного неравенства на строго положительное выражение $x^2 - x + 2$ (знак неравенства при этом не меняется): $$ (x - 3)(x - 4) \leqslant 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нули функции: $x = 3$ и $x = 4$. 2. Отметим их на числовой прямой закрашенными точками. Они разбивают прямую на промежутки $(-\infty; 3]$, $[3; 4]$, $[4; +\infty)$. 3. Определим знаки выражения $(x - 3)(x - 4)$ на этих промежутках: - при $x > 4$ (например, $x = 5$): $(5 - 3)(5 - 4) = 2 \cdot 1 > 0$ (знак $+$); - при $3 < x < 4$ (например, $x = 3{,}5$): $(3{,}5 - 3)(3{,}5 - 4) = 0{,}5 \cdot (-0{,}5) < 0$ (знак $-$); - при $x < 3$ (например, $x = 0$): $(0 - 3)(0 - 4) = (-3) \cdot (-4) > 0$ (знак $+$). Нам подходят значения, при которых выражение неположительно ($\leqslant 0$). Ответ: $x \in [3; 4]$. --- **2)** $(x^2 - 3x - 4)(x^2 - 2x - 15) \leqslant 0$ Разложим каждый квадратный трёхчлен на множители. 1. Для $x^2 - 3x - 4 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -4 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 4 $$ Значит, $x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)$. 2. Для $x^2 - 2x - 15 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_3 + x_4 = 2 \\ x_3 \cdot x_4 = -15 \end{cases} \implies x_3 = -3, \quad x_4 = 5 $$ Значит, $x^2 - 2x - 15 = (x + 3)(x - 5)$. Подставим разложения в неравенство: $$ (x + 3)(x + 1)(x - 4)(x - 5) \leqslant 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: 1. Нули функции: $x = -3$, $x = -1$, $x = 4$, $x = 5$. 2. Отметим точки на числовой прямой (точки закрашенные, так как неравенство нестрогое). 3. Точки делят числовую прямую на пять промежутков: $(-\infty; -3]$, $[-3; -1]$, $[-1; 4]$, $[4; 5]$, $[5; +\infty)$. 4. Все корни имеют кратность 1, поэтому при переходе через каждую точку знак выражения чередуется. - На крайнем правом промежутке $(5; +\infty)$ все множители положительны (знак $+$). - На промежутке $[4; 5]$ знак $-$. - На промежутке $[-1; 4]$ знак $+$. - На промежутке $[-3; -1]$ знак $-$. - На промежутке $(-\infty; -3]$ знак $+$. Нам подходят промежутки со знаком «$-$» и граничные точки, где выражение равно нулю. Ответ: $x \in [-3; -1] \cup [4; 5]$.