ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 680

**1)** Решим неравенство методом интервалов: $$ \frac{(2x+1)(x+2)}{x-3} < 0 $$ 1. Найдем нули числителя: $$ (2x + 1)(x + 2) = 0 $$ $$ 2x + 1 = 0 \quad \text{или} \quad x + 2 = 0 $$ $$ x = -0{,}5 \quad \text{или} \quad x = -2 $$ 2. Найдем нули знаменателя: $$ x - 3 = 0 \implies x = 3 $$ 3. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<$), все точки будут выколотыми: $-2$, $-0{,}5$ и $3$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; -0{,}5)$, $(-0{,}5; 3)$, $(3; +\infty)$. 4. Определим знак выражения на каждом интервале: - при $x \in (3; +\infty)$ (например, $x = 4$): $\frac{(2 \cdot 4 + 1)(4 + 2)}{4 - 3} = \frac{9 \cdot 6}{1} > 0$ (знак $+$); - при $x \in (-0{,}5; 3)$ (например, $x = 0$): $\frac{(1)(2)}{-3} < 0$ (знак $-$); - при $x \in (-2; -0{,}5)$ (например, $x = -1$): $\frac{(-1)(1)}{-4} > 0$ (знак $+$); - при $x \in (-\infty; -2)$ (например, $x = -3$): $\frac{(-5)(-1)}{-6} < 0$ (знак $-$). Нам подходят промежутки со знаком «$-$». Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-0{,}5; 3)$. --- **2)** Решим неравенство методом интервалов: $$ \frac{(x-3)(2x+4)}{x+1} \geqslant 0 $$ 1. Найдем нули числителя: $$ (x - 3)(2x + 4) = 0 $$ $$ x - 3 = 0 \quad \text{или} \quad 2x + 4 = 0 $$ $$ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -2 $$ 2. Найдем нули знаменателя: $$ x + 1 = 0 \implies x = -1 $$ 3. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\geqslant$), поэтому нули числителя ($x = -2$ и $x = 3$) будут закрашенными, а ноль знаменателя ($x = -1$) — выколотой точкой, так как делить на ноль нельзя ($x \neq -1$). Точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -2]$, $[-2; -1)$, $(-1; 3]$, $[3; +\infty)$. 4. Определим знак выражения на каждом интервале: - при $x \in (3; +\infty)$ (например, $x = 4$): $\frac{(1)(12)}{5} > 0$ (знак $+$); - при $x \in (-1; 3)$ (например, $x = 0$): $\frac{(-3)(4)}{1} < 0$ (знак $-$); - при $x \in (-2; -1)$ (например, $x = -1{,}5$): $\frac{(-4{,}5)(1)}{-0{,}5} > 0$ (знак $+$); - при $x \in (-\infty; -2)$ (например, $x = -3$): $\frac{(-6)(-2)}{-2} < 0$ (знак $-$). Нам подходят промежутки со знаком «$+$», включая точки $-2$ и $3$. Ответ: $x \in [-2; -1) \cup [3; +\infty)$.