ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 677

**1)** $x^3 - 16x < 0$ Разложим левую часть неравенства на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки и применив формулу разности квадратов: $$ x(x^2 - 16) < 0 $$ $$ x(x - 4)(x + 4) < 0 $$ Найдем нули функции $f(x) = x(x - 4)(x + 4)$: $$ x = -4, \quad x = 0, \quad x = 4 $$ Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Они разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знаки выражения $f(x)$ на каждом интервале методом пробных точек: * при $x \in (4; +\infty)$ (например, при $x = 5$): $5 \cdot 1 \cdot 9 > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (0; 4)$ (например, при $x = 1$): $1 \cdot (-3) \cdot 5 < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-4; 0)$ (например, при $x = -1$): $(-1) \cdot (-5) \cdot 3 > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-\infty; -4)$ (например, при $x = -5$): $(-5) \cdot (-9) \cdot (-1) < 0$ (знак «$-$»). Нам нужны интервалы со знаком «$-$». Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (0; 4)$. --- **2)** $4x^3 - x > 0$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки и применим формулу разности квадратов: $$ x(4x^2 - 1) > 0 $$ $$ x(2x - 1)(2x + 1) > 0 $$ Найдем нули функции $f(x) = x(2x - 1)(2x + 1)$: $$ x = -0{,}5, \quad x = 0, \quad x = 0{,}5 $$ Нанесем выколотые точки на числовую ось, разбивая её на интервалы: $(-\infty; -0{,}5)$, $(-0{,}5; 0)$, $(0; 0{,}5)$ и $(0{,}5; +\infty)$. Определим знаки выражения на интервалах: * при $x \in (0{,}5; +\infty)$ (например, при $x = 1$): $1 \cdot 1 \cdot 3 > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (0; 0{,}5)$ (например, при $x = 0{,}1$): $0{,}1 \cdot (-0{,}8) \cdot 1{,}2 < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-0{,}5; 0)$ (например, при $x = -0{,}1$): $(-0{,}1) \cdot (-1{,}2) \cdot 0{,}8 > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-\infty; -0{,}5)$ (например, при $x = -1$): $(-1) \cdot (-3) \cdot (-1) < 0$ (знак «$-$»). Нам нужны интервалы со знаком «$+$». Ответ: $x \in (-0{,}5; 0) \cup (0{,}5; +\infty)$. --- **3)** $(x^2 - 1)(x + 3) < 0$ Разложим первый множитель по формуле разности квадратов: $$ (x - 1)(x + 1)(x + 3) < 0 $$ Найдем нули функции $f(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 3)$: $$ x = -3, \quad x = -1, \quad x = 1 $$ Отметим выколотые точки на числовой оси: они образуют интервалы $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знаки выражения на интервалах: * при $x \in (1; +\infty)$ (например, при $x = 2$): $1 \cdot 3 \cdot 5 > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-1; 1)$ (например, при $x = 0$): $(-1) \cdot 1 \cdot 3 < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-3; -1)$ (например, при $x = -2$): $(-3) \cdot (-1) \cdot 1 > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-\infty; -3)$ (например, при $x = -4$): $(-5) \cdot (-3) \cdot (-1) < 0$ (знак «$-$»). Нам нужны интервалы со знаком «$-$». Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 1)$. --- **4)** $(x^2 - 4)(x - 5) > 0$ Разложим первый множитель по формуле разности квадратов: $$ (x - 2)(x + 2)(x - 5) > 0 $$ Найдем нули функции $f(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 5)$: $$ x = -2, \quad x = 2, \quad x = 5 $$ Отметим выколотые точки на числовой оси: они делят прямую на интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 5)$ и $(5; +\infty)$. Определим знаки выражения на интервалах: * при $x \in (5; +\infty)$ (например, при $x = 6$): $4 \cdot 8 \cdot 1 > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (2; 5)$ (например, при $x = 3$): $1 \cdot 5 \cdot (-2) < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-2; 2)$ (например, при $x = 0$): $(-2) \cdot 2 \cdot (-5) > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-\infty; -2)$ (например, при $x = -3$): $(-5) \cdot (-1) \cdot (-8) < 0$ (знак «$-$»). Нам нужны интервалы со знаком «$+$». Ответ: $x \in (-2; 2) \cup (5; +\infty)$.