ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 679

**1)** Решим неравенство: $$ \frac{x-2}{x+5} > 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Найдём нули числителя и знаменателя: * Числитель: $x - 2 = 0 \implies x = 2$; * Знаменатель: $x + 5 = 0 \implies x = -5$. 2. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, обе точки выколотые (не входят в решение): $x \neq -5$ и $x \neq 2$. Они разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 2)$ и $(2; +\infty)$. 3. Определим знак дроби на каждом интервале: * при $x \in (2; +\infty)$ возьмём $x = 3$: $\frac{3-2}{3+5} = \frac{1}{8} > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-5; 2)$ возьмём $x = 0$: $\frac{0-2}{0+5} = -\frac{2}{5} < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-\infty; -5)$ возьмём $x = -6$: $\frac{-6-2}{-6+5} = \frac{-8}{-1} = 8 > 0$ (знак «$+$»). Нам подходят промежутки со знаком «$+$». **Ответ:** $x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$. --- **2)** Решим неравенство: $$ \frac{x-4}{x+3} < 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Найдём нули числителя и знаменателя: * Числитель: $x - 4 = 0 \implies x = 4$; * Знаменатель: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. 2. Отметим точки на числовой прямой выколотыми (неравенство строгое): $x = -3$ и $x = 4$. Они делят прямую на интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 4)$ и $(4; +\infty)$. 3. Определим знак дроби на каждом интервале: * при $x \in (4; +\infty)$ возьмём $x = 5$: $\frac{5-4}{5+3} = \frac{1}{8} > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-3; 4)$ возьмём $x = 0$: $\frac{0-4}{0+3} = -\frac{4}{3} < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-\infty; -3)$ возьмём $x = -4$: $\frac{-4-4}{-4+3} = \frac{-8}{-1} = 8 > 0$ (знак «$+$»). Нам подходит промежуток со знаком «$-$». **Ответ:** $x \in (-3; 4)$. --- **3)** Решим неравенство: $$ \frac{1,5-x}{3+x} \geqslant 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Найдём нули числителя и знаменателя: * Числитель: $1,5 - x = 0 \implies x = 1,5$; * Знаменатель: $3 + x = 0 \implies x = -3$. 2. Отметим точки на числовой прямой: * Точка $x = 1,5$ входит в решение (закрашенная), так как неравенство нестрогое; * Точка $x = -3$ не входит в решение (выколотая), так как на ноль делить нельзя ($x \neq -3$). 3. Определим знак дроби на каждом интервале: * при $x \in (1,5; +\infty)$ возьмём $x = 2$: $\frac{1,5-2}{3+2} = \frac{-0,5}{5} < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-3; 1,5)$ возьмём $x = 0$: $\frac{1,5-0}{3+0} = \frac{1,5}{3} = 0,5 > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-\infty; -3)$ возьмём $x = -4$: $\frac{1,5-(-4)}{3+(-4)} = \frac{5,5}{-1} < 0$ (знак «$-$»). Нам подходит промежуток со знаком «$+$», включая точку $x = 1,5$. **Ответ:** $x \in (-3; 1,5]$. --- **4)** Решим неравенство: $$ \frac{3,5+x}{x-7} \leqslant 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Найдём нули числителя и знаменателя: * Числитель: $3,5 + x = 0 \implies x = -3,5$; * Знаменатель: $x - 7 = 0 \implies x = 7$. 2. Отметим точки на числовой прямой: * Точка $x = -3,5$ входит в решение (закрашенная), так как неравенство нестрогое; * Точка $x = 7$ не входит в решение (выколотая), так как знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 7$). 3. Определим знак дроби на каждом интервале: * при $x \in (7; +\infty)$ возьмём $x = 8$: $\frac{3,5+8}{8-7} = \frac{11,5}{1} > 0$ (знак «$+$»); * при $x \in (-3,5; 7)$ возьмём $x = 0$: $\frac{3,5+0}{0-7} = -\frac{3,5}{7} = -0,5 < 0$ (знак «$-$»); * при $x \in (-\infty; -3,5)$ возьмём $x = -4$: $\frac{3,5+(-4)}{-4-7} = \frac{-0,5}{-11} > 0$ (знак «$+$»). Нам подходит промежуток со знаком «$-$», включая точку $x = -3,5$. **Ответ:** $x \in [-3,5; 7)$.