ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 673

Рассмотрим неравенство: $$(r^2 - 1)x^2 + 2(r - 1)x + 2 > 0$$ Чтобы оно выполнялось при всех действительных значениях $x$, рассмотрим два возможных случая в зависимости от старшего коэффициента. **1. Случай, когда старший коэффициент равен нулю:** $$r^2 - 1 = 0 \implies r = 1 \text{ или } r = -1$$ * При $r = 1$: $$(1^2 - 1)x^2 + 2(1 - 1)x + 2 > 0$$ $$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 2 > 0$$ $$2 > 0$$ Неравенство $2 > 0$ верно при любых значениях $x$. Значит, значение $r = 1$ удовлетворяет условию. * При $r = -1$: $$((-1)^2 - 1)x^2 + 2(-1 - 1)x + 2 > 0$$ $$-4x + 2 > 0$$ $$-4x > -2$$ $$x < \frac{1}{2}$$ Неравенство выполняется не при всех $x$, поэтому значение $r = -1$ не подходит. **2. Случай, когда неравенство является квадратным ($r^2 - 1 \neq 0$):** Квадратный трехчлен $Ax^2 + Bx + C$ принимает положительные значения при всех действительных $x$ тогда и только тогда, когда ветви параболы направлены вверх ($A > 0$), а дискриминант отрицателен ($D < 0$). Для нашего трехчлена: $A = r^2 - 1$, $B = 2(r - 1)$, $C = 2$. Используем четверть дискриминанта $D_1 = \frac{D}{4}$: $$D_1 = (r - 1)^2 - (r^2 - 1) \cdot 2$$ $$D_1 = r^2 - 2r + 1 - 2r^2 + 2$$ $$D_1 = -r^2 - 2r + 3$$ Составим систему условий: $$\begin{cases} r^2 - 1 > 0 \\ -r^2 - 2r + 3 < 0 \end{cases}$$ Решим каждое неравенство системы: 1) $r^2 - 1 > 0$ $$(r - 1)(r + 1) > 0 \implies r \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$$ 2) $-r^2 - 2r + 3 < 0$ Умножим на $-1$, меняя знак неравенства: $$r^2 + 2r - 3 > 0$$ Корни трехчлена $r^2 + 2r - 3 = 0$: $r_1 = -3$, $r_2 = 1$. $$(r + 3)(r - 1) > 0 \implies r \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$$ Найдем пересечение решений: $$\begin{cases} r \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \\ r \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) \end{cases} \implies r \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$$ **3. Объединение решений обоих случаев:** Объединяя найденное значение $r = 1$ и интервалы $r \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$, получаем: $$r \in (-\infty; -3) \cup [1; +\infty)$$ Ответ: $r \in (-\infty; -3) \cup [1; +\infty)$