ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 672

Рассмотрим квадратный трёхчлен в левой части неравенства: $$f(x) = x^2 - (2 + r)x + 4$$ Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $x^2 - (2 + r)x + 4 > 0$ выполняется при всех действительных значениях $x$ тогда и только тогда, когда парабола целиком лежит выше оси абсцисс, то есть не имеет с ней общих точек. Это условие равносильно тому, что дискриминант квадратного трёхчлена строго меньше нуля ($D < 0$). Найдём дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-(2 + r))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (2 + r)^2 - 16$$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$D = 4 + 4r + r^2 - 16 = r^2 + 4r - 12$$ Составим и решим неравенство $D < 0$: $$r^2 + 4r - 12 < 0$$ Для нахождения корней соответствующего квадратного уравнения $r^2 + 4r - 12 = 0$ воспользуемся теоремой Виета: $$\begin{cases} r_1 + r_2 = -4 \\ r_1 \cdot r_2 = -12 \end{cases} \implies r_1 = -6,\quad r_2 = 2$$ Разложим левую часть неравенства на множители: $$(r + 6)(r - 2) < 0$$ Применим метод интервалов: знак выражения $(r + 6)(r - 2)$ отрицателен между корнями, то есть при: $$-6 < r < 2$$ Или в виде числового промежутка: $$r \in (-6; 2)$$ Ответ: $r \in (-6; 2)$ (или $-6 < r < 2$).