ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 664

**1)** $5 - x^2 \ge 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x^2 - 5 \le 0 $$ Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \le 0 $$ Корни уравнения $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0$: $x_1 = -\sqrt{5}$, $x_2 = \sqrt{5}$. Ветви параболы $y = x^2 - 5$ направлены вверх, поэтому значения выражения неположительны ($\le 0$) на отрезке между корнями: $$ x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}] $$ **Ответ:** $[-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$ --- **2)** $-2,1x^2 + 10,5x < 0$ Разделим обе части неравенства на $-2,1$ (знак неравенства меняется): $$ x^2 - 5x > 0 $$ Вынесем общий множитель за скобки: $$ x(x - 5) > 0 $$ Корни уравнения $x(x - 5) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$. Ветви параболы $y = x^2 - 5x$ направлены вверх, значения строго больше нуля находятся за пределами промежутка корней: $$ x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty) $$ **Ответ:** $(-\infty; 0) \cup (5; +\infty)$ --- **3)** $-3,6x^2 - 7,2x < 0$ Разделим обе части неравенства на $-3,6$ (знак неравенства меняется): $$ x^2 + 2x > 0 $$ Вынесем общий множитель за скобки: $$ x(x + 2) > 0 $$ Корни уравнения $x(x + 2) = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$. Парабола направлена ветвями вверх, положительные значения находятся вне корней: $$ x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) $$ **Ответ:** $(-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$ --- **4)** $-x^2 + 7 < 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$ (знак неравенства меняется): $$ x^2 - 7 > 0 $$ Разложим на множители: $$ (x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7}) > 0 $$ Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{7}$, $x_2 = \sqrt{7}$. Ветви параболы $y = x^2 - 7$ направлены вверх, значения больше нуля находятся вне корней: $$ x \in (-\infty; -\sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}; +\infty) $$ **Ответ:** $(-\infty; -\sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}; +\infty)$ --- **5)** $-6x^2 - x + 12 > 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$ (знак неравенства меняется): $$ 6x^2 + x - 12 < 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения $6x^2 + x - 12 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -1,5 $$ $$ x_2 = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Ветви параболы $y = 6x^2 + x - 12$ направлены вверх, отрицательные значения лежат в интервале между корнями: $$ x \in \left(-1,5; 1\frac{1}{3}\right) $$ **Ответ:** $\left(-1,5; 1\frac{1}{3}\right)$ --- **6)** $-3x^2 - 6x + 45 < 0$ Разделим обе части неравенства на $-3$ (знак неравенства меняется): $$ x^2 + 2x - 15 > 0 $$ Найдём корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $$ $$ x_1 = \frac{-2 - 8}{2} = -5 $$ $$ x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3 $$ Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 15$ направлены вверх, значения больше нуля находятся вне интервала корней: $$ x \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty) $$ **Ответ:** $(-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$ --- **7)** $\frac{1}{2}x^2 + 4,5x - 4 > 0$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$ x^2 + 9x - 8 > 0 $$ Найдём корни уравнения $x^2 + 9x - 8 = 0$: $$ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 81 + 32 = 113 $$ $$ x_1 = \frac{-9 - \sqrt{113}}{2}, \quad x_2 = \frac{-9 + \sqrt{113}}{2} $$ Парабола направлена ветвями вверх, решение неравенства лежит вне корней: $$ x \in \left(-\infty; \frac{-9 - \sqrt{113}}{2}\right) \cup \left(\frac{-9 + \sqrt{113}}{2}; +\infty\right) $$ *(Примечание: в печатном издании учебника в этом пункте перед старшим коэффициентом стоит знак «минус»: $-\frac{1}{2}x^2 + 4,5x - 4 > 0$. При таком условии умножаем на $-2$, получаем $x^2 - 9x + 8 < 0$, откуда $(x - 1)(x - 8) < 0$ и ответом является интервал $(1; 8)$).* **Ответ:** $\left(-\infty; \frac{-9 - \sqrt{113}}{2}\right) \cup \left(\frac{-9 + \sqrt{113}}{2}; +\infty\right)$ (по учебнику с минусом: $(1; 8)$) --- **8)** $-x^2 - 3x - 2 > 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$ (знак неравенства меняется): $$ x^2 + 3x + 2 < 0 $$ Найдём корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1 \cdot x_2 = 2 \end{cases} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = -1 $$ Разложим на множители: $$ (x + 2)(x + 1) < 0 $$ Ветви параболы направлены вверх, значения меньше нуля лежат между корнями: $$ x \in (-2; -1) $$ **Ответ:** $(-2; -1)$