ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 663

### 1) $x^2 - 4x + 6 > 0$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 6$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8 $$ Так как $D < 0$, квадратное уравнение $x^2 - 4x + 6 = 0$ не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось $Ox$ и целиком лежит выше неё, то есть при любых значениях $x$ верно $x^2 - 4x + 6 > 0$. **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число). --- ### 2) $x^2 + 6x + 10 < 0$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 6x + 10$. Ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$). Вычислим дискриминант: $$ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4 $$ Так как $D < 0$ и $a > 0$, парабола расположена строго выше оси $Ox$, то есть $x^2 + 6x + 10 > 0$ при всех $x$. Значений, при которых выражение меньше нуля, не существует. **Ответ:** решений нет. --- ### 3) $x^2 + x + 2 > 0$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + x + 2$. Ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$). Вычислим дискриминант: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 $$ Так как $D < 0$, трехчлен не имеет корней. Так как $a > 0$, парабола целиком находится выше оси $Ox$, следовательно, неравенство выполняется при всех действительных $x$. **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$. --- ### 4) $x^2 + 3x + \frac{5}{5} < 0$ Упростим свободный член: $\frac{5}{5} = 1$. Неравенство принимает вид: $$ x^2 + 3x + 1 < 0 $$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 3x + 1$. Коэффициент $a = 1 > 0$ (ветви направлены вверх). Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 3x + 1 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 $$ $$ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} $$ Парабола с ветвями вверх принимает отрицательные значения на интервале между корнями. **Ответ:** $x \in \left(\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}\right)$. *(Примечание: если в условии опечатка и имелось в виду $x^2 + 3x + 5 < 0$, то $D = 9 - 20 = -11 < 0$, и так как $a = 1 > 0$, парабола лежит выше оси $Ox$, поэтому неравенство не имеет решений).* --- ### 5) $2x^2 - 3x + 7 < 0$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = 2x^2 - 3x + 7$. Ветви параболы направлены вверх ($a = 2 > 0$). Вычислим дискриминант: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 9 - 56 = -47 $$ Так как $D < 0$ и $a > 0$, график функции целиком лежит выше оси $Ox$. Выражение $2x^2 - 3x + 7$ принимает только положительные значения при любых $x$, поэтому оно не может быть меньше нуля. **Ответ:** решений нет. --- ### 6) $4x^2 - 8x + 9 > 0$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = 4x^2 - 8x + 9$. Ветви параболы направлены вверх ($a = 4 > 0$). Вычислим дискриминант: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 64 - 144 = -80 $$ Так как $D < 0$ и $a > 0$, трехчлен не имеет корней, а график лежит строго выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство верно для любого действительного числа $x$. **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$.